помогите y'-y=e^x-x

[suntillo]

подскажите как решить

$$y'-y=e^x-x$$

$$y(0)=1$$

[ewert]

1). Метод вариации произвольной постоянной (или, что эквивалентно, Бернулли).

или

2). Метод неопределённых коэффициентов (для уравнений со стандартной правой частью).

или

3). Операционный метод.

Поищите по оглавлению в книжке.

[antbez]

Если будете решать по второму методу, не забудьте о "резонансе"

[H14sk]

4) Операторный метод:
$\[(D - 1)y = {e^x} - x\]$
$\[ \Rightarrow y = \frac{1} {{D - 1}}({e^x} - x) = \int_a^x {{e^{x - t}}({e^t} - t)} dt = {e^x}\int_a^x {(1 - t{e^{ - t}})} dt = $
$\[={e^x}(x - a) + {e^x}\int_a^x t d{e^{ - t}} = {e^x}(x - a) + (x + 1) - {e^{x - a}}(a + 1) = \]$
$\[=- ((a + 1){e^a} + a){e^x} + x{e^x} + x + 1 =C{e^x} + x{e^x} + x + 1\]$
Сие решение не следует считать полным, поскольку не обоснован переход: $\[ \frac{1}{{D - 1}}({e^x} - x) = \int_a^x {{e^{x - t}}({e^t} - t)} dt $

[suntillo]

делаю так

$$y'-y=0$$

$$r-1=0$$

$$r=1$$

$$y^*=Ce^{x}$$

если я правильно понял получается

$$C'(x)e^{x}=e^x-x$$

$$\frac{dC}{{dx}} =\frac {({e^x} - x)} {e^x}$$

$$C(x)=\frac{xe^x+x+1}{e^{x}}+C_0$$

$$y=xe^{x}+x+1+C_0{e^x}$$

$$C_0=0$$

$$y=xe^{x}+x+1$$

[ewert]

Правильно.