идемпотенты

[Alexiii]

Здравствуйте!
Есть такая задачка: Дана полугруппа $S$. Доказать, что следующие два предложения эквивалентны:

1) для любого $a\in S$ найдется элемент $b\in S$ такой, что $a=aba$(отсюда следует и $b=bab$).
К тому же для любых идемпотентов $e,f\in S$ имеем $ef=fe$

2) элемент $b\in S$ единственный

Док-во: ясно,что имеем идемпотенты $ab,ba$.

$1)\Rightarrow 2)$:
$a=aca\Rightarrow c=cac=cabac=c(ab)(ac)=c(ac)(ab)=cab=$$cabab=(ca)(ba)b=(ba)(ca)b=bab=b$

$2)\Rightarrow 1)$:
пусть $e,f\in S$- идемпотенты, тогда ${ef\in S}\Rightarrow ef=efdef$, притом $d$ единственен.
${ef=ef(d)ef=ef(fd)ef=ef(de)ef}\Rightarrow d=fd=de$
${d=defd}\Rightarrow {de=d=defd=defde,fd=d=defd=fdefd}$
$\Rightarrow {f=fdef, e=efde}\Rightarrow de=f, fd=e $,
так как $e=eee, f=fff$ и имеется условие единственности.
Получилось: ${d=de=f, d=fd=e}\Rightarrow e=f\Rightarrow ef=fe$.

Значит только один идемпотент имеет $S$, - наверняка я что-то не так доказал!

Отзовитесь!

[Профессор Снэйп]

Alexiii в сообщении #227002 писал(а):

Есть такая задачка: Дана полугруппа $S$. Доказать, что следующие два предложения эквивалентны:

1) для любого $a\in S$ найдется элемент $b\in S$ такой, что $a=aba$(отсюда следует и $b=bab$).
К тому же для любых идемпотентов $e,f\in S$ имеем $ef=fe$

2) элемент $b\in S$ единственный

Не понял второе утверждение. В нём что, говорится, что полугруппа $S$ одноэлементна?

Если да, то это явный бред. Достаточно рассмотреть произвольную группу.

-- Вт июл 07, 2009 15:48:41 --

Кажется, я понял, что хотел сказать автор. Он предлагает доказать, что для произвольной полугруппы (то есть системы с одной ассоциативной бинарной операцией) следующие утверждения эквивалентны.

$$ \forall a \exists b (a = aba) \mathop{\&} \forall e \forall f (e^2 = e \mathop{\&} f^2 = f \rightarrow ef = fe) $$

$$ \forall a \exists ! b (a = aba) $$

Я прав?

-- Вт июл 07, 2009 16:09:31 --

Что касается предложенного решения. Я не понял, почему из $a = aba$ следует $b = bab$. Поясните.

[Профессор Снэйп]

Подумав некоторое время, так и не смог доказать $1 \Rightarrow 2$.

Что касается $2 \Rightarrow 1$, то легко заметить, что из единственности $b$ со свойством $a = aba$ действительно следует $b = bab$ для этого $b$. Ибо в этом случае $a =aba = (aba)(ba) = a(bab)a$. Так что доказательство $2 \Rightarrow 1$, данное автором темы, полностью корректно, и идемпотент действительно единственен. И, кстати, есть подозрение, что он будет единичным элементом, и что $S$ в этом случае окажется группой. По крайней мере, контрпример с ходу построить не удаётся.

-- Вт июл 07, 2009 21:05:00 --

Ага! Утверждение, которое просят доказать, ложно

Рассмотрим произвольное поле (например, $\mathbb{Q}$) с обычным умножением. Тогда (1) выполняется, а (2) --- нет.

Вопрос автору темы: откуда задача? Может, условие неправильно переписали?

-- Вт июл 07, 2009 21:14:59 --

По поводу того, является ли $S$ группой в случае выполнения условия (2)... Заведу тему в олимпиадном разделе.

[Alexiii]

Возможно,препод имел в виду,что в 1)-ом дополнительно выполняется $b=bab$, так как действительно из $a=aba$ не следует $b=bab$,а только $bab=(bab)a(bab)$.
Что касается 2),то там имеется в виду,что такое $b$,как в 1)-ом,единственно. Впрочем, как Вы и впоследствии правильно поняли!

Видать тогда, что мое доказательство верное.Просто у меня после доказательства возникло сомнение,ведомое полученным результатом относительно единственности идемпотента.

Спасибо за замечания!

[Профессор Снэйп]

Alexiii, загляните сюда