Вращение шара на бесконечном кол-ве осей

[ShMaxG]

Ну если только есть одна неподвижная все время точка - то ее ускорение нуль. (значит рассматриваем задачу: как может двигаться тело, если ускорение всех точек в любой момент времени равно нулю).
Если угловая скорость тождественно равна нулю - тут все тривиально.
Если угловая скорость не равна тождественно нулю, то существует момент времени, когда она не равна нулю.
Вот формула для вычисления ускорения произвольной точки:

$\[ {\text{w}} = \varepsilon \times {\text{r}} + \omega \times \left( {\omega \times {\text{r}}} \right) \]$
. Здесь $\[{\text{r}}\]$ - это радиус-вектор точки, проведенный из данной неподвижной.
Всегда существует точка, ускорение которой не равно нулю.
В фиксированный момент времени угловое ускорение и угловая скорость некоторые определенные значения. Если эти векторы не коллинеарны, достаточно взять точку с радиус-вектором коллинеарным с угловой частотой. Если же угловое ускорение и угловая скорость коллинеарны, тогда вот что получим:
$ \[ {\text{w}} = k\omega \times {\text{r}} + \omega \times \left( {\omega \times {\text{r}}} \right) \]$.

Эти два слагаемых ортогональны друг другу, сумма не равна нулю (лишь только угловая частота в нуль не обращается в этот момент и радиус-вектор не коллинеарен ему).

Поэтому, только если тело покоится, ускорение всех точек в л.м.вр. равно нулю.

Более сложная ситуация - нет неподвижной в любой момент времени точки.
Выбираем произвольную точку, пусть эта точка - $O$. Вычисляем ее ускорение $w_O$. Посмотрим, когда ускорение любой другой точки равно этому $w_O$. Вот формула

$\[ {\text{w}} = {\text{w}}_O + \varepsilon \times {\text{r}} + \omega \times \left( {\omega \times {\text{r}}} \right) \] $.

Ну вот, надо показать, что существуют точки тела, что равенство
$ \[ \varepsilon \times {\text{r}} + \omega \times \left( {\omega \times {\text{r}}} \right) = 0 \]$
не выполнено - задача свелась фактически к предыдущей. Опять же, угловая скорость должна быть тождественно равна нулю.

[Olgol]

ShMaxG в сообщении #226695 писал(а):

ShMaxG

Спасибо, посмотрю. Воображение подсказывает, что для максимального приближения поля ускорений к форме шара, необходимо в каждый следующий момент времени оси перемещать в место максимальнога ускорения.

-- Пн июл 06, 2009 22:50:31 --

Anton Nonko в сообщении #226727 писал(а):

Anton Nonko

Спасибо! Почитаю

[man]

Нелогичное заглавие темы навеяло странные ассоциации с мыльным пузырем, вроде бы точки на поверхности "шара" двигаются произвольно и в то же время, форма сохраняется.

[Olgol]

ShMaxG в сообщении #226733 писал(а):

Вот формула для вычисления ускорения произвольной точки

Попытаюсь нагляднее сформулировать задачу. Имеется твердый шар диаметром 5см., висящий в жидкости и вращающийся относительно своего центра. Как должна менятся координата (в Декартовой или полярной системе координат) произвольной точки, чтобы за некоторый промежуток времени среднее значение ускорения всех точек поверхности шара были равны по величине. Приходится брать не моментальное значение, поскольку, по- видимому, в каждый момент времени равенство недостижимо.

[ShMaxG]

Среднее значение в каком смысле? За некоторый период времени, или в смысле

$\[ \overline f = \mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } \frac{1} {\tau }\int\limits_0^\tau {f\left( t \right)dt} \]$
где тау - время...
Или среднее по всем точкам шара?


И что за поле в форме шара?

И напомню еще раз на всякий случай, что никаких вращений относительно нескольких осей не бывает. Существует только одна ось, относительно которой в данный момент времени происходит вращение.

[Olgol]

man в сообщении #226977 писал(а):

Нелогичное заглавие темы навеяло странные ассоциации с мыльным пузырем, вроде бы точки на поверхности "шара" двигаются произвольно и в то же время, форма сохраняется.

Если взять этот пузырь, проткнуть его спицей, а спицу надеть на ось двигателя, то при вращении, пузырь вытянется в плоскости, перпендикулярной спице, и сожмется вдоль спицы, как будто его сдавят две надетые на спицу фанерки. Если двигатель со спицей и пузырем примастрячить к другому двигателю, ось ротора которого перпендикулярна спице и проходит через центр пузыря, то некогда кругленький пузырь будет сжиматься и вытягиваться центробежными силами уже от двух вращающихся осей.
Вторая ось действует так же, как и первая. Пузырь теперь давят уже четыре фанерки.
При этом если первая ось была Х, а вторая Y, то по оси Z они действуют сообща удлиняя блин, а по оси Х и Y противодействуют друг другу. Поскольку пузырь по осям стягивается не плоскими фанерками, а центробежными силами, складывающимися по тригонометрическим законам, то по осям пузырь будет чуть втянут в форме воронки. И если добавить еще моторчик, который вращал бы всю эту конструкцию по оси Z , то такая же вороночка появится и по оси Z. Во всяком случае такие графики сложенных сил нарисовал мой XL. Задача состоит в том, чтобы висящий в воздухе мыльный пузырь с помощью, скажем некоторого кол-ва воздушных сопел, достаточно быстро вращать, а его форма не имела бы существенных изъянов, оставаясь шаром.

-- Вт июл 07, 2009 00:25:24 --

ShMaxG в сообщении #226982 писал(а):

Среднее значение в каком смысле? За некоторый период времени, или в смысле


где тау - время...
Или среднее по всем точкам шара?

За перид времени, поскольку, видимо, повсем точкам шара невозможно

[jetyb]

Как вам уже сказали, описанное вами движение будет мгновенным вращением вокруг непрерывно меняющейся проходящей через центр оси $ l $с направляющим вектором $\vec{\omega}(t)$. То есть это будет движением сплюснутого шара с неподвижным центром.
Мне кажется, что для приблизительного равенства средних значений ускорений за длительный период времени в каждой точке шара надо взять угловые скорости трех вращений взаимно иррациональными(чтобы главная ось сплюснутого шара побывала вблизи всех направлений) и примерно равными(надо как-то обеспечить одинаковую среднюю по времени длину главной оси).

[man]

Olgol в сообщении #226990 писал(а):

man в сообщении #226977 писал(а):

Нелогичное заглавие темы навеяло странные ассоциации с мыльным пузырем, вроде бы точки на поверхности "шара" двигаются произвольно и в то же время, форма сохраняется.

Если взять этот пузырь, проткнуть его спицей, а спицу надеть на ось двигателя, то при вращении, пузырь вытянется в плоскости, перпендикулярной спице, и сожмется вдоль спицы, как будто его сдавят две надетые на спицу фанерки.

С точки зрения физики я в этом сомневаюсь.
С математической точки зрения, в общем случае, множество точек, равноудаленных от центра, не упорядочено и точки не обязаны сохранять свое тригонометрическое положение относительно какой-либо оси. Говорить о вращении можно только применительно к некоторому упорядоченному подмножеству точек сферы.

[nikov]

Olgol в сообщении #226434 писал(а):

При трех осевом равномерном вращении шара, поле ускорений можно представить в виде воздушного шара слегка стянутого тремя взаимноперпендикулярными обручами. Каковым должно быть вращение шара, чтобы ускорение в каждой точке его поверхности были одно и тоже?

Есть теорема о том, что если сфера помещена в векторное поле, то по крайней мере в двух точках сферы вектор поля будет направлен нормально к сфере, или будет равен нулю, или поле не будет непрерывным ("нельзя причесать ежа").

[Someone]

nikov в сообщении #233038 писал(а):

Есть теорема о том, что если сфера помещена в векторное поле, то по крайней мере в двух точках сферы вектор поля будет направлен нормально к сфере, или будет равен нулю, или поле не будет непрерывным ("нельзя причесать ежа").

Непрерывное поле касательных векторов к сфере $\mathbb S^2$ хотя бы в одной точке обращается в $\vec 0$. Есть примеры, когда ровно в одной.

[nikov]

Да, я действительно ошибся. В одной.