Исчезновение несжимаемой жидкости из закрытого сосуда

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый Инт!

Инт в сообщении #226061 писал(а):

Александр Козачок в сообщении #226019 писал(а):

Глубокоуважаемый Инт! Запишите, пожалуйста, формулу связи между бесконечно малыми и конечными смещениями, которая позволяет осуществить такой переход.

Про бесконечно малые рассказывают ещё в школе, и в худшем случае, в университете. Я думал в нашей стране про них все знают. И известно собственно, что нет никакой формулы связи, так как нет чёткого определения, что подразумевать под бесконечно малыми, ещё со времён Архимеда.

Вот и давайте воспользуемся тем, о чем рассказывают еще в школе на уроке физики и даже на уроке математики для толкования физического смысла производной. Весьма скользкое определение понятия бесконечно малой пока оставим в тени. Итак, и бесконечно малые (БМС) и конечные (КС) смещения зависят только от скорости и времени. Если для обоих случаев скорость конечна, то запишите, пожалуйста, формулы для определения БМС и КС и сопоставьте их. Возможно, это сопоставление все-таки поможет построить формулу связи между БМС и КС, поскольку ее, судя по Вашему утверждению, еще нет.

С уважением, Александр Козачок

[Инт]

Александр Козачок в сообщении #226126 писал(а):

Итак, и бесконечно малые (БМС) и конечные (КС) смещения зависят только от скорости и времени. Если для обоих случаев скорость конечна, то запишите, пожалуйста, формулы для определения БМС и КС и сопоставьте их. Возможно, это сопоставление все-таки поможет построить формулу связи между БМС и КС, поскольку ее, судя по Вашему утверждению, еще нет.

Вы про что? Поясните что имеете ввиду. А то ничего не понятно о чём речь. Какая ещё скорость? Какое ещё сопоставление?

Берём, к примеру, конечное расстояние $S$, измеряемое от точки $A$ до точки $B = B(n)$. Меняем величину отрезка $AB$ в зависимости от аргумента $n$ так, что каково бы ни было число $\epsilon > 0$ для всех достаточно больших $n$ оказывается $S < \epsilon$. Эту неограниченно уменьшающуюся величину S уже как функцию называем бесконечно малой, и обозначаем $dS$. Что мне ещё пояснить?

[ewert]

Инт в сообщении #226138 писал(а):

Эту неограниченно уменьшающуюся величину S уже как функцию называем бесконечно малой

Как функцию чего?...

[Инт]

$n$

[CowboyHugges]

Александр Козачок, понятие "бесконечно малая" к скоростям не имеет никакого отношения, в более менее принятом смысле это всего лишь варианта $x_n$ имеющая пределом 0, в этом смысле насколько я понимаю это понятие использует и г-н Инт. Давайте не будем отрывать автора пустыми обсуждениями от основного на данный момент вопроса. А именно автор обещал предоставить полное формальное доказательство теоремы 2

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Инт в сообщении #226138 писал(а):

Вы про что? Поясните что имеете ввиду. А то ничего не понятно о чём речь. Какая ещё скорость? Какое ещё сопоставление?

Я лишь хотел подчеркнуть, что смещение- это пройденный частицей Вашей жидкости путь. Причем особый путь. И пройден он с какой-то скоростью и за какое-то время. А сопоставление БМС и КС может многое прояснить.

CowboyHugges в сообщении #226177 писал(а):

понятие "бесконечно малая" к скоростям не имеет никакого отношения

Я бы хотел, чтобы автор темы и другие участники обсуждения прокомментировали это утверждение.

С уважением, Александр Козачок

[Инт]

А зачем его комментировать? Имелось ввиду, что к теме обсуждения не имеет отношения.

[CowboyHugges]

Александр Козачок, Г.М.Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", Физматлит, 2003. т.I стр. 53

Цитата:

Варианта $x_n$ называется бесконечно малой(или бесконечно малой величиной), если она по абсолютной величине становится и остается меньше сколь угодно малого наперед заданного числа $\epsilon>0$, начиная с некоторого $n$

Как Вы видите никакой "скорости" нет и в помине.Абсолютно аналогичное определение и бесконечно малой функции. Я достаточно "прокомментировал"?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Инт в сообщении #226371 писал(а):

А зачем его комментировать? Имелось ввиду, что м теме обсуждения не имеет отношения

CowboyHugges имел в виду не тему обсуждения

CowboyHugges в сообщении #226177 писал(а):

понятие "бесконечно малая" к скоростям не имеет никакого отношения

К тому же в его поле зрения почему-то не попали традиционные толкования физического смысла понятия производной в учебниках ВМ с помощью понятия скорости и т.д. Хотя, глубокоуважаемые Инт и CowboyHugges , это обсуждение навязали Вы сами, поскольку я предлагал от него пока воздержаться

Александр Козачок в сообщении #226126 писал(а):

Весьма скользкое определение понятия бесконечно малой пока оставим в тени.

Но вместо ответа на четко поставленный вопрос по поводу БМС и КС я получил пространное разъяснение о бесконечно малых вообще с учетом личного вклада в эту проблему

Инт в сообщении #226061 писал(а):

Глубокоуважаемый Александр Козачок. Про бесконечно малые рассказывают ещё в школе, и в худшем случае, в университете. Я думал в нашей стране про них все знают. И известно собственно, что нет никакой формулы связи, так как нет чёткого определения, что подразумевать под бесконечно малыми, ещё со времён Архимеда. Это есть некий способ говорить. Другое дело, что способ говорить сопровождается некой интуицией. Если бы вы заглянули в моё решение континуум-проблемы, то там, в конце §6 даётся точное определение по этому поводу. Впрочем, я не претендую на то, что дал определение бесконечно малых первым. Вся суть определения состоит в том, что бесконечно малая это - функция, которая стремится к нулю от какого-нибудь аргумента, который можно интерпретировать как степень узнавания бесконечно малой. Например, пусть этим аргументом будет натуральное число. Таким образом, бесконечно малая это величина, которая становится сколь угодно малой, с каждым новым натуральным числом принимая, вообще говоря, конечное значение. Это же касается и бесконечно малого смещения жидкости.

С уважением, Александр Козачок

[CowboyHugges]

Александр Козачок, во-первых я не имею привычки что-либо "навязывать" не в своей теме. Я просто указал что мы ждем доказательства теоремы 2, и негоже пока уводить автора от этого и пускаться в отыскание каких-то "физических" смыслыов К тому же если, Вы прочитаете тему внимательно то увидите это:

Инт в сообщении #225286 писал(а):

Вообще, тема относится к основаниям математики. Физическое её содержание лишь форма донести предмет. Следствия для физики конечно имеются, но пока я не напишу более детальные выкладки для shwedkи думаю обсуждать это не стоит, так как в противном случае, меня обвинят в обсуждений следствий из ещё недоказанных теорем.

Во-вторых, я указал что термин "бесконечно малая" не имеет чёткой привязки к скоростям. Вы в своей забытой теме "Millenium prize..." связывали бесконечно малое смещение с дифференцированием, Ваше право. А вот г-н Инт не хочет связывать (если это не так то думаю он меня поправит), и это тоже его право, не находите ли? Так что давайте на время забудем о поле скоростей, девиаторе тензора напряжение, уравнение состояния жидкости и всех других прелестях гидродинамики и дождёмся строгого доказательства теоремы 2.

[Инт]

CowboyHugges в сообщении #226405 писал(а):

давайте ... дождёмся строгого доказательства теоремы 2.

Наконец, приступим к доказательству теоремы 2. Окончательное построение трубок. Сразу отмечу, что принципиальной математической трудности такое построение не представляет. Надо лишь проследить за правильностью математической индукции при построении.

§I. Строим каскад каналов «в направлении точки $O$»

Разбиваем сферу $\Sigma$ на секторы. Для этого вводим на сфере ортогональные сферические координаты $\theta$ и $\varphi$, $0 < \theta < \pi$, $0 < \varphi < 2\pi$. Считаем, что $\theta(m, n) = \frac{m}{10^n} \cdot \pi$, $\varphi(m, n) = \frac{m}{10^n} \cdot 2\pi$, $m = 0, 1, 2, … 10^n$. Считаем, что пересечение сферы $\Sigma = A(1)$ трубкой $T(p, q, n)$, т.е. торец трубки на сфере, есть четырёхугольник $Q(T(p, q, n), 1)$ (или треугольник, если дуга сводится к точке), заключённый между дугами $\theta = \theta(p, n)$, $\theta = \theta(p+1, n)$, $\varphi = \varphi(q, n)$ и $\varphi = \varphi(q+1, n)$. $\partial’ T(p, q, n)$ пусть означает ту часть границы трубки, которая составлена из кривых семейства $L$. Полная граница трубки $\partial T(p, q, n)$ такова, что $\partial T(p, q, n) = \partial’ T(p, q, n) \cup Q(T(p, q, n), 1)$. Таким образом, наименование трубок и пересечение их со сферой мы определяем раньше, чем сами трубки.

Пусть на декартовой плоскости введены координаты $X$ и $Y$. Пусть, $D(p, q, n)$ – квадрат на декартовой плоскости, заключённый между прямыми $X = \frac{p}{10^n}$, $X = \frac{p+1}{10^n}$, $Y = \frac{q}{10^n}$ и $Y = \frac{q+1}{10^n}$, $p, q < 10^n$. Вообще говоря, $D(p, q, n)$ это переменный квадрат, который мы можем непрерывно деформировать как хотим и перемещать в пространстве, так что его определение на декартовой плоскости и наименование «квадратом» является определением частного геометрического положения переменного двумерного многообразия $D(p, q, n)$.

Выделим значения $R = \rho_{n} > \rho_{n+1} \to 0$. Считаем, что $\rho_{1} < 1$. Строим $A(\rho_{n})$ одну за другой. Для этого, определяем трубки $T(p, q, 1)$ произвольным образом, конечно так, чтобы поверхность $\partial’ T(p, q, 1)$ была перпендикулярна сфере $\Sigma$ в точках пересечения с этой сферой, чтобы второй торец трубки $T(p, q, 1)$ был в точности точкой $O$, чтобы трубки заполняли весь объём шара и не пересекались по внутренности. Поверхность $A(\rho_{1})$ располагаем так, чтобы она находилась между сферами $\Sigma(\rho_{1})$ и $\Sigma(r(\rho_{1}))$. Считаем, что функции $r(R)$ и $S(R)$ заранее заданы надлежащим образом. Кроме того, пусть $r(R’) < r(R’’)$, если $R’ < R’’$. Поверхность $A(\rho_{1})$, как гладкую, кроме всего прочего, располагаем так, чтобы она всюду была перпендикулярна уже определённым поверхностям $\partial’ T(p, q, 1)$, которые считаем бесконечно гладкими. Площадь каждого куска $A(\rho_{1}) \cap T(p, q, 1) = Q(T(p, q, 1), \rho_{1})$, т.е. величину $F(Q(T(p, q, 1), \rho_{1}))$, т.е. $F(A(\rho_{1}) \cap T(p, q, 1))$ делаем заведомо большей, чем величина $S(\rho_{1}) \cdot F(Q(T(p, q, 1), 1))$.

Располагаем на каждом конкретном куске поверхности $A(\rho_{1}) \cap T(p, q, 1)$ наш переменный «квадрат» $D(p, q, 1)$, $p, q = 0, 1, 2, …, 10^n$, в деформированном виде и так, чтобы его границы на поверхности $A(\rho_{1})$ совпали с линиями пересечения поверхности $A(\rho_{1})$ поверхностью $\partial’ T(p, q, 1)$. Затем, те квадраты $D(p’, q’, n)$, для которых оказывается, что $D(p’, q’, n) \subseteq D(p, q, 1)$, последовательно меняя $n > 1$, непрерывно деформируем движениями на поверхности так, чтобы оставаясь в рамках квадрата $D(p, q, 1)$ квадрат $D(p’, q’, n)$ приобрёл площадь на $A(\rho_{1})$ большую чем $S(\rho_{1}) \cdot F(Q(T(p’, q’, n), 1))$. И именно это положение квадрата считаем положением сечения $Q(T(p’, q’, n), \rho_{1})$. Заметим, таким образом, что сечение определено раньше, чем сама трубка $T(p’, q’, n)$.

Напомню, что если $A(s’)$ и $A(s)$ - различные поверхности, $s’ < s$, то объём, заключённый между этими поверхностями, был обозначен как $E(s’, s)$. Обозначим так же, $E(s, 1) = E(s)$, $CE(s)$ - дополнение к объёму $E(s)$. Определяем трубки $T(p, q, 2)$ в области $CE(\rho_{1})$, как произвольные трубки, перпендикулярные поверхности $A(\rho_{1})$ в точках, расположенных на сторонах квадратов $Q(T(p, q, 2), \rho_{1})$ соответственно. Если $Q(T(p’, q’, 2), \rho_{1}) \subset Q(T(p, q, 1), \rho_{1})$, то трубка $T(p’, q’, 2)$, вернее, её часть $T(p’, q’, 2) \cap CE(\rho_{1})$ выбирается так, чтобы оказалось $T(p’, q’, 2) \subset T(p, q, 1)$. Трубки $T(p’, q’, 2)$ выбираем так, чтобы они заполнили весь объём $CE(\rho_{1})$. В качестве $A(\rho_{2})$ берём произвольную гладкую поверхность, ортогональную границам трубок $T(p’, q’, 2)$, удовлетворяющую тем условиям, что $A(\rho_{2})$ заключена между $\Sigma(\rho_{2})$ и $\Sigma(r(\rho_{2}))$ в $CE(\rho_{1})$, и такую, что каждое сечение $Q(T(p, q, 2), \rho_{2})$ имеет площадь большую, чем сечение $Q(T(p, q, 2), \rho_{1})$ и большую, чем величина $S(\rho_{2}) \cdot F(Q(T(p, q, 2), 1))$. Используя квадрат $D(p, q, 2)$, строим в $Q(T(p, q, 2), \rho_{2})$, не меняя поверхности, все сечения $Q(T(p’, q', n), \rho_{2})$, т.е. строим сечения для любого $n$, которые должны включаться в $Q(T(p, q, 2), \rho_{2})$ так, что площадь $Q(T(p’, q', n), \rho_{2})$ больше чем площадь построенного сечения $Q(T(p’, q', n), \rho_{1})$ и больше чем величина $S(\rho_{2}) \cdot F(Q(T(p’, q’, n), 1))$.

Пусть теперь, по предположению индукции, построены гладкие поверхности $A(\rho_{k})$, $k = 1, 2, …, N$, и гладкие трубки $T(p, q, k) \cap CE(\rho_{k})$. И на построенных поверхностях указаны сечения всех трубок $T(p, q, n)$ при любом $n$ так, что площади сечений возрастают монотонно вдоль трубок с уменьшением $\rho_{k}$.

Определяем трубки $T(p, q, N+1)$ в области $CE(\rho_{N})$. Это будут произвольно фиксированные трубки, перпендикулярные поверхности $A(\rho_{N})$ в точках, расположенных на сторонах сечений $Q(T(p, q, N+1), \rho_{N})$ соответственно. Если $Q(T(p’, q’, N+1), \rho_{N}) \subset Q(T(p, q, N+1), \rho_{N})$, то трубка $T(p’, q’, N+1) \cap CE(\rho_{1})$ выбирается так, чтобы оказалось $T(p’, q’, N+1) \subset T(p, q, N)$. Трубки $T(p’, q’, N+1)$ выбираем так, чтобы они заполнили весь объём $CE(\rho_{N})$. В качестве $A(\rho_{N+1})$ берём произвольную гладкую поверхность, ортогональную границам трубок $T(p’, q’, N+1)$, удовлетворяющую тем условиям, что: $A(\rho_{N+1})$ заключена между $\Sigma(\rho_{N+1})$ и $\Sigma(r(\rho_{N+1}))$ в $CE(\rho_{N+1})$; каждое сечение $Q(T(p, q, N+1), \rho_{N+1})$ имеет площадь большую, чем уже определенное ранее сечение $Q(T(p, q, N+1), \rho_{N})$ и большую, чем величина $S(\rho_{N+1}) \cdot F(Q(T(p, q, N+1), 1))$. Используя квадрат $D(p, q, N+1)$, строим в $Q(T(p, q, N+1), \rho_{N+1})$, не меняя поверхности, все сечения $Q(T(p’, q', n), \rho_{N+1})$, $n > N+1$, которые должны включаться в $Q(T(p, q, N+1), \rho_{N+1})$ так, что площадь $Q(T(p’, q', n), \rho_{N+1})$ больше чем площадь построенного сечения $Q(T(p’, q', n), \rho_{N})$ и больше чем величина $S(\rho_{N+1}) \cdot F(Q(T(p’, q’, n), 1))$.

Таким образом, построены все поверхности $A(\rho_{N})$ и все трубки $T(p, q, N)$ в той части каждой трубки, которая расположена в области $CE(\rho_{N-1})$.

§II. Строим всё более и более уплотняющиеся каскады

Далее, необходимо достроить трубки и заполнить поверхностями промежутки между уже построенными поверхностями $A(\rho_{N})$.

Эти промежутки будем заполнять поверхностями $A(\rho_{w})$, где $w$ – произвольное число $0 < w < 1$. Считаем, что каждая поверхность выбирается только из гладких поверхностей.

Построенные поверхности $A(\rho_{N})$ и границы трубок образуют ячейки, не заполненные никакими до сих пор построенными поверхностями. Каждую ячейку заполняем поверхностями $A(R)$ по некоему однотипному правилу, которое излагается ниже. Без ограничений общности, достаточно описать заполнение одной из ячеек. Берём, скажем, ячейку, заключённую между поверхностями $A(\rho_{1})$, $A(\rho_{0}) = \Sigma$ и $\partial’ T(5, 5, 1)$. Для удобства, обозначим сечение первой поверхностью трубки $T(5, 5, 1)$ как $A$, сечение второй поверхностью этой трубки как $B$, саму трубку, заключённую между двумя сечениями, как $T$. Границу $T$, в которой исключены торцы, обозначим $\partial’ T = \partial’ T(5, 5, 1) \cap E(\rho_{1}, 1)$. Вообще же граница $T$ есть $\partial T = \partial’ T \cup A \cup B$.

Берём в качестве трубок $T(p, q, 2)$ внутри $T$ произвольные трубки, заполняющие $T$, имеющие гладкую границу такую, что каждая поверхность $\partial’ T(p, q, 2)$ перпендикулярна поверхностям $A$ и $B$ в точках пересечения с этими поверхностями. Сами пересечения $\partial’ T(p, q, 2)$ с $A$ и $B$ уже определены ранее, как это было описано.

Берём переменную поверхность $D = D(5, 5, 1)$, поставив её в зависимость от непрерывного параметра $w$ так, чтобы: каждая из поверхностей $D(p, q, 2)$, которая включена в $D$, была ортогональна $\partial’ T(p, q, 2)$ в точках пересечения с $\partial’ T(p, q, 2)$; имела бы площадь большую, чем величина $S(\rho_{w}) \cdot D(p, q, 2)$; чтобы площадь $D(p, q, 2)$ непрерывно и монотонно росла вдоль трубки $T(p, q, 2)$, как сечение этой трубки, при переходе поверхности $D(p, q, 2)$ от $B$ к $A$, с ростом параметра $w$, и была бы заключена между сферами $\Sigma(\rho_{w})$ и $\Sigma(r(\rho_{w}))$. Кроме того, при всех перечисленных условиях, пусть, когда $w \to 1$, то $D(p, q, 2)$ стремится к $A$, а когда $w \to 0$, то $D(p, q, 2)$ стремится к $B$. При этом, зададим произвольный $\epsilon_{2} > 0$. И зададим зависимость $w = w(z)$, где $z$ – целое число. Считаем, что $w(z) \to 1$, если $z$ стремится к положительной бесконечности, и $w(z) \to 0$, если $z$ стремится к отрицательной. Перемещаем поверхности $D(p, q, 2)$ следующим образом. Пусть $D(p, q, 2)$ – положение квадрата такое, когда считается, что он расположен на $A(\rho_{w(z)})$, а $D'(p, q, 2)$ – положение этого же квадрата, когда он расположен на поверхности $A(\rho_{w(z+1)})$. Тогда, если необходимо, сокращая разбиение $w = w(z)$, добиваемся того, чтобы угол между касательными плоскостями к поверхностям $D(p, q, 2)$ и $D’(p, q, 2)$ в любой точке касания этих поверхностей внутри трубки $T(p, q, 2)$ был меньше чем $\epsilon_{2}$.

Эти условия размещения и перемещения поверхностей выполнимы потому, что зависимость $r = r(\rho)$ монотонная, и поверхность $A(\rho’)$ не может пересекать обе сферы $\Sigma(\rho)$ и $\Sigma(r(\rho))$, если $\rho’ \neq \rho$. Если мы размещаем поверхности, используя сначала только рациональный $w$ – одну за другой, как счётное множество – на каждом шаге располагая в пространстве трубки $T$ конечное количество поверхностей, то для новой вводимой поверхности остаётся всегда достаточно места, чтобы могли быть выполнены перечисленные условия.

После чего, оставляем как построенные только поверхности $A(\rho_{w(z)})$. Остальные поверхности, полученные от непрерывного движения $D(p, q, 2)$, выкидываем. И так же как и в §I находим все более мелкие сечения на поверхностях $A(\rho_{w(z)})$ для трубок $T(p, q, n)$, $n >2$. После чего, строим трубки $T(p, q, 3)$, часть границы которых $\partial’ T(p, q, 3)$ ортогональна поверхностям $A$ и $B$ в точке пересечения поверхностей. Эти трубки строим в области между поверхностями $A(\rho_{w(1)})$ и $A$ и в области между поверхностями $A(\rho_{w(-1)})$ и $B$, трубки $T(p, q, 4)$ в областях между $A(\rho_{w(2)})$ и $A$, и между $A(\rho_{w(-2)})$ и $B$, и т.д. Трубки $T(p, q, n)$ строятся между $A(\rho_{w(n-2)})$ и $A$, и между $A(\rho_{w(-n+2)})$ и $B$ так, что $\partial’ T(p, q, n)$ ортогональна $A$ и $B$ в точках пересечения этих поверхностей. При этом, для заранее заданной последовательности $\epsilon_{n} \to 0$ угол между касательными плоскостями к соседним построенным поверхностям $A(\rho)$ в одной трубке (из самого мелкого разбиения построенных трубок) по построению не превышает $\epsilon_{n}$.

Считаем, в итоге, что сделано более мелкое разбиение тех ячеек, которые были получены в §I. Т.е. получены более мелкие ячейки. Эти новые ячейки разбиваем по описанному алгоритму, уплотняя множество поверхностей $A(R)$ и множество трубок.

§III. Переход к остальным заключениям

Если взять произвольную трубку, состоящую из линий тока, то она может всегда быть приближена, со сколь угодно большой точностью объединением трубок вида $T(p, q, n)$. И таким образом, сечение каждой трубки расширяется монотонно при $R \to 0$. В описанном процессе построения каскадов для протекания жидкости, всегда можно гарантировать гладкость хотя бы счётного количества всюду плотных линий тока. На самом деле можно гарантировать и большее, лишь ненамного усложнив процесс построения каскадов, т.е. гладкость всех линий тока. Но для окончательных выводов достаточно и указанного. Взяв такую гладкую линию тока и рассматривая сечение трубки, содержащей эту линию, можно рассуждать так, как в одном из предыдущих постов (post225741.html#p225741). Таким образом, доказывается возможность вытекания жидкости из сосуда.

[shwedka]

Не вникая (пока) в детали построения, замечания:

Инт в сообщении #227561 писал(а):

В описанном процессе построения каскадов для протекания жидкости, всегда можно гарантировать гладкость хотя бы счётного количества всюду плотных линий тока.

Недостаточно. Если не все линии тока гладкие, то 'движение' недифферецируемо, поэтому повисает само понятие 'несжимаемости'. ПОверхности, кроме счетного числа построенных, оказываются тоже негладкими, вопреки 'теореме'

Инт в сообщении #227561 писал(а):

На самом деле можно гарантировать и большее, лишь ненамного усложнив процесс построения каскадов, т.е. гладкость всех линий тока.

Так докажите!

-- Чт июл 09, 2009 15:20:30 --

Инт в сообщении #227561 писал(а):

После чего, оставляем как построенные только поверхности $A(\rho_{w(z)})$

Таким образом, построено только счетное множество поверхностей. 'Теорема' говорит о несчетных семействах поверхностей. Теорема не доказана. Вам нужно доказать, что построенное Вами счетное семейство поверхностей можно дополнить до непрерывного.

Инт в сообщении #227561 писал(а):

Кроме того, при всех перечисленных условиях, пусть, когда $w \to 1$, то $D(p, q, 2)$ стремится к $A$, а когда $w \to 0$, то $D(p, q, 2)$ стремится к $B$

Здесь и далее. Когда Вы говорите о стремлении, сходимости, аппроксимации линий, трубок, поверхностей, следует 1. определить в каком смысле сходимость имеет место, 2. доказать, что в этом смысле аппроксимацию возможно построить и 3. доказать, что рассматриваемая характеристика (длина, объем, плошадь) непрерывна относительно выбранного вида сходимости. Без этого все разговоры об аппроксимации - сотрясение воздуха. Вы совершаете ошибку, в которой обвинили математиков в первом посте

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Так, математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей. Заменяя, скажем, конкретную гладкую геометрическую поверхность на ломанную поверхность, составленную из комбинаций малых кусков плоскостей, делают вывод относительно ломанной поверхности, и выводы переносят на гладкую поверхность в пределе, т.е. если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.

[Инт]

Уважаемая shwedka. Хочу, во-первых, поприветствовать Вас после продолжительного перерыва. Во-вторых, у меня просьба по порядку ведения дискуссии. Прошу вас задавать вопросы по одному, чтобы я мог давать так же один чёткий ответ. Это вне зависимости от заданных вами выше вопросов. Я их в самое ближайшее время буду обдумывать.

-- Чт июл 09, 2009 18:31:35 --

Сначала по самому простому и несущественному. Пишу на ходу.

shwedka в сообщении #227576 писал(а):

Здесь и далее. Когда Вы говорите о стремлении, сходимости, аппроксимации линий, трубок, поверхностей, следует 1. определить в каком смысле сходимость имеет место, 2. доказать, что в этом смысле аппроксимацию возможно построить и 3. доказать, что рассматриваемая характеристика (длина, объем, плошадь) непрерывна относительно выбранного вида сходимости. Без этого все разговоры об аппроксимации - сотрясение воздуха. Вы совершаете ошибку, в которой обвинили математиков в первом посте

Инт в сообщении #225133 писал(а):

Так, математики и физики привыкли представлять «бесконечно малые величины первого порядка» в виде неких малых прямых отрезков или участков плоскостей. Заменяя, скажем, конкретную гладкую геометрическую поверхность на ломанную поверхность, составленную из комбинаций малых кусков плоскостей, делают вывод относительно ломанной поверхности, и выводы переносят на гладкую поверхность в пределе, т.е. если свойство ломанной поверхности сохраняется при всех достаточно больших $n$, где $n$ – номер ломанной поверхности, то это есть свойство гладкой поверхности.

Употребление таких слов как "сотресание воздуха" и т.п. прошу оставить, так как я высказал некоторый математический тезис, плохой он или хороший, но намерен его защитить математическими аргументами. Только и всего. Математиков же я ни в чём не обвинял, и сам являюсь математиком. Суть тезиса в том, что мы можем расширить наши представления на то, что является объёмом, и на некоторые алгебраические операции, например, на взятие интеграла по пространству. Но поскольку тезис в конечном итоге доказывается, если доказана теорема 2, то дальше лучше обсуждать только её.

-- Чт июл 09, 2009 19:15:03 --

shwedka в сообщении #227576 писал(а):

Если не все линии тока гладкие, то 'движение' недифферецируемо, поэтому повисает само понятие 'несжимаемости'. Поверхности, кроме счетного числа построенных, оказываются тоже негладкими, вопреки 'теореме'

Инт в сообщении #227561 писал(а):

О негладкости линий тока. Если даже они не гладкие, то понятие несжимаемости не повисает, так как при движении любого конечного объёма жидкости этот объём сохраняется и на негладких траекториях. Но возражение принимается. Действительно, лучше, чтоб уж никаких сомнений всё было гладко. Поэтому даю по этому поводу уточнения.

Между прочим, что касается поверхностей $A(R)$, то они определены как всюду гладкие, и не счётное количество таких поверхностей, а весь их континуум. Это следует из того, что при уплотнении счётного количества поверхностей достигалось такое их положение, что касательные плоскости к поверхностям $A(R)$ отличались друг от друга по ориентации на всё более и более малую величину с каждым шагом уплотнения. Т.е. предел касательной плоскости будет совпадать с касательной плоскостью предела поверхностей. В точности так же, поступаем со стенками счётного количества трубок. Если такое сделать, т.е. касательные плоскости к стенкам трубок будут неограниченно сближаться по ориентации при увеличении шага разбиения, то отсюда будет вытекать гладкость всех трубок. Подробности увеличили бы изложение на один или два абзаца.

-- Чт июл 09, 2009 19:25:17 --

shwedka в сообщении #227576 писал(а):

Инт в сообщении #227561 писал(а):

После чего, оставляем как построенные только поверхности $A(\rho_{w(z)})$

Таким образом, построено только счетное множество поверхностей. 'Теорема' говорит о несчетных семействах поверхностей. Теорема не доказана. Вам нужно доказать, что построенное Вами счетное семейство поверхностей можно дополнить до непрерывного.

Это счётное множество всё более и более уплотняется. Затем, остальные поверхности, т.е. весь их континуум, берутся как предельные. Я посчитал, что это обговаривать не надо.

-- Чт июл 09, 2009 19:35:43 --

Вернёмся теперь к конструктивному рассмотрению тезиса

shwedka в сообщении #227576 писал(а):

Здесь и далее. Когда Вы говорите о стремлении, сходимости, аппроксимации линий, трубок, поверхностей, следует 1. определить в каком смысле сходимость имеет место, 2. доказать, что в этом смысле аппроксимацию возможно построить и 3. доказать, что рассматриваемая характеристика (длина, объем, плошадь) непрерывна относительно выбранного вида сходимости. Без этого все разговоры об аппроксимации - сотрясение воздуха.

Рисуем например, произвольную гладкую кривую на сфере, которая является границей сосуда. Считаем, что эта кривая ограничивает торец (сечение) $Q$ некоторой трубки, уходящей по линиям тока в точку $O$. Берём такую комбинацию из счётного количества заведомо существующих "рациональных трубок", торцы которых при объединении сколь угодно точно воспроизводят область $Q$ на сфере. Тогда, считаем, что трубки с такими сечениями апроксимируют трубку с торцом $Q$. Увеличивая число "рациональных трубок", в пределе объединяя их все, считаем, что они образовали конкретную (выбранную ранее по сечению произвольно) трубку.

[shwedka]

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Это счётное множество всё более и более уплотняется. Затем, остальные поверхности, т.е. весь их континуум, берутся как предельные. Я посчитал, что это обговаривать не надо.

Тот же вопрос. В каком смысле предел? Существование предела?

Инт в сообщении #227561 писал(а):

Тогда, если необходимо, сокращая разбиение $w = w(z)$, добиваемся того, чтобы угол между касательными плоскостями к поверхностям $D(p, q, 2)$ и $D’(p, q, 2)$ в любой точке касания этих поверхностей внутри трубки $T(p, q, 2)$ был меньше чем $\epsilon_{2}$

Вы имели в виду что-то другое. В точке касания двух поверхностей угол между касательными плоскостями равен нулю.

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Берём такую комбинацию из счётного количества заведомо существующих "рациональных трубок", торцы которых при объединении сколь угодно точно воспроизводят область $Q$ на сфере.

ОПять. в каком смысле??

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Увеличивая число "рациональных трубок", в пределе объединяя их все, считаем, что они образовали конкретную (выбранную ранее по сечению произвольно) трубку.

И останется ли у Вас хоть сколько-нибудь гладкости?

Приведите в порядок все предельные аргументы. До тех пор обсуждение бессмысленно.

[Инт]

Привожу в больший порядок рассуждения по одному из заданных вопросов.

shwedka в сообщении #227639 писал(а):

Инт в сообщении #227561 писал(а):

Тогда, если необходимо, сокращая разбиение $w = w(z)$, добиваемся того, чтобы угол между касательными плоскостями к поверхностям $D(p, q, 2)$ и $D’(p, q, 2)$ в любой точке касания этих поверхностей внутри трубки $T(p, q, 2)$ был меньше чем $\epsilon_{2}$

Вы имели в виду что-то другое. В точке касания двух поверхностей угол между касательными плоскостями равен нулю.

$D(p, q, 2)$ и $D’(p, q, 2)$ это две разные поверхности, выступающие в качестве сечений некоторой трубки. Эти сечения$D(p, q, 2)$ и $D’(p, q, 2)$ заданы на поверхностях заранее. И каждой точке $P \in D(p, q, 2)$ поэтому, однозначно соответствует точка $P' \in D'(p, q, 2)$. Обе точки находятся поэтому заранее в одних и тех же трубках (хотя сами трубки ещё могут быть и не построенными полностью). Имелось ввиду, что поверхности выбираются настолько близкими, что касательная плоскость к $D(p, q, 2)$ в точке $P$ отличается от касательной плоскости к поверхности $D’(p, q, 2)$ в точке $P'$ не больше чем на $\epsilon_2$

-- Чт июл 09, 2009 22:08:32 --

shwedka в сообщении #227639 писал(а):

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Берём такую комбинацию из счётного количества заведомо существующих "рациональных трубок", торцы которых при объединении сколь угодно точно воспроизводят область $Q$ на сфере.

ОПять. в каком смысле??

В прямом смысле: объединение трубок в точности равно предельной трубке.

shwedka в сообщении #227639 писал(а):

Инт в сообщении #227616 писал(а):

Увеличивая число "рациональных трубок", в пределе объединяя их все, считаем, что они образовали конкретную (выбранную ранее по сечению произвольно) трубку.

И останется ли у Вас хоть сколько-нибудь гладкости?

Я уже приводил рассуждения о том, что гладкость останется. Но даже если и нет, по "шершавой" трубке жидкость всё равно может течь. Переходя к пределу трубки сколь угодно тонкого сечения доказывается, что жидкость будет течь так (пусть и по шершавым линиям тока), что будет сохранять объём. А сечение такой трубки будет равно сумме сечений непересекающихся "рациональных трубок" в точности. Под "рациональными" трубками понимаем трубки $T(p, q, n)$.