Корректность интеграла Ито

[H14sk]

Подсчет интеграла по Ито, например, у Оксендаля существенно зависит от способа построения разбиения? Скажем, при подсчете интеграла

$$\int_0^t \eta (s)d\eta (s) = $$

легко видны три варианта разбиения:

$$\sum\limits_k {{\eta _{{t_k}}}({\eta _{{t_{k + 1}}}} - {\eta _{{t_k}}})} = \frac{1} {2}\sum\limits_k {[(\eta _{{t_{k + 1}}}^2 - \eta _{{t_k}}^2)} - {({\eta _{{t_{k + 1}}}} - {\eta _{{t_k}}})^2}] = \frac{{{\eta ^2}}} {2} - \frac{t} {2}$$

$$\sum\limits_k {{\eta _{{t_{k + 1}}}}({\eta _{{t_{k + 1}}}} - {\eta _{{t_k}}})} = \frac{1} {2}\sum\limits_k {[(\eta _{{t_{k + 1}}}^2 - \eta _{{t_k}}^2)} + {({\eta _{{t_{k + 1}}}} - {\eta _{{t_k}}})^2}] = \frac{{{\eta ^2}}} {2} + \frac{t} {2}$$

$$\sum\limits_k {\frac{{({\eta _{{t_{k + 1}}}} + {\eta _{{t_k}}})}} {2}({\eta _{{t_{k + 1}}}} - {\eta _{{t_k}}})} = \frac{1} {2}\sum\limits_k {(\eta _{{t_{k + 1}}}^2 - \eta _{{t_k}}^2)} = \frac{{{\eta ^2}}} {2}$$

поскольку $\eta _0 := 0$ и $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \sum\limits_k {{{({\eta _{{t_{k + 1}}}} - {\eta _{{t_k}}})}^2}} = t$ Точнее, не столько t, сколько дисперсии? Третий вариант, вроде, и есть интеграл в смысле Стратоновича?
Если не привязывать значение функции к краям или середине отрезка разбиения, а пустить произвольную последовательность, то интеграл вроде как не сходится?
Понятно, что интеграл в смысле Ито обладает свойством мартингальности, однако теряет при этом свойство отображать площадь.
Какие соображения приводят к приоритету интегралу в смысле Ито?

[Gortaur]

Видимо, Вы путаете - интеграл Ито - тот, в разбении которого берутся точки в началах отрезков. Именно такой интеграл называется интегралом в смысле Ито.
Если в середине отрезка - то только в смысле Стратановича называется интеграл. И обозначается он немного по другому.
Насчет точек в концах отрезков не знаю, по-моему общепринятого названия для такого интеграла нет.

[Хорхе]

Gortaur писал(а):

Насчет точек в концах отрезков не знаю, по-моему общепринятого названия для такого интеграла нет.

Есть. Обратный интеграл называется.

Последовательность интегральных сумм может расходиться не только при произвольном выборе точек, но и для крайних или средних. Более цивилизованный подход описан, например, в классической статье Руссо и Валуа.

-- Ср июл 01, 2009 12:37:12 --

H14sk писал(а):

Какие соображения приводят к приоритету интегралу в смысле Ито?

Приоритет - в каком смысле?

В конкретных задачах как-то естественно всплывает нужное определение. Скажем, если мы приближенно решаем стохастическое дифференциальное уравнение методом ломаных Эйлера, то тут открыта дорога прямому интегралу (интегралу Ито). Если же мы приближаем винеровский процесс гладкими функциями - вот тут всплывает симметричный интеграл (Стратоновича). Для обратного интеграла тоже есть своя мотивация.

[Gortaur]

Есть ли где-нибудь вывод интеграла Стратановича? просто не вижу причин, почему именно в середине нужно брать, а не в другой внутренней точке, если только не используются специальные гладкие функции.

-- Ср июл 01, 2009 12:47:05 --

H14sk
интеграл - инструмент, упрощающий решение задачи, но не всегда он может быть универсален, просто в том же Оксендале рассматриваются задачи, подходящие под Ито. И плюс, нет процессов Стратановича.

[Хорхе]

Gortaur в сообщении #225900 писал(а):

Есть ли где-нибудь вывод интеграла Стратановича? просто не вижу причин, почему именно в середине нужно брать, а не в другой внутренней точке, если только не используются специальные гладкие функции.

Стратонович.

Собственно, "средние точки" - это не определение симметричного интеграла (Стратоновича), а некоторое упрощение, которое действительно работает только в хороших случаях. Более точно сказать: среднее значение подынтегральной функции на отрезке разбиения.

Еще более точно - смотрите Руссо и Валуа.

[Gortaur]

Хорхе в сообщении #225899 писал(а):

Если же мы приближаем винеровский процесс гладкими функциями - вот тут всплывает симметричный интеграл (Стратоновича).

Это я про букву О.

[H14sk]

Хорхе писал(а):

Приоритет - в каком смысле?

Вообще говоря, в произвольном. Какие соображения привели к восприятию такого подхода (в смысле, Ито), как корректного?
Привычно, что когда строим суммы Дарбу любая последовательность по отрезкам разбиения приводит к однозначности. Здесь же разброс в дисперсию... Всегда, конечно, есть подход, мол, сие нельзя понять, сие можно только запомнить - вилька, тарелька, бутилька...

Хорхе писал(а):

Еще более точно - смотрите Руссо и Валуа.

За наводку спасибо, правда, там не скачать... Но главное знать, что искать...

Gortaur писал(а):

процессов Стратановича.

Что такое "процесс Стратановича"?

[Gortaur]

Я имел ввиду, что процессы Ито есть, а процессов Стратоновича нет.

[H14sk]

Хорхе писал(а):

Еще более точно - смотрите Руссо и Валуа.

Спасибо, интересно. Что-то не сразу у меня получилось скачать статью... а вроде все просто...
Смыл в том, что предлагается от представления интегралом как бы Стилтьеса перейти к как бы интегралу Римана или, скорее, Лебега.
$\[\int_0^1 {X(t)} \frac{{Y((t + \varepsilon ) \wedge 1) - Y(t)}} {\varepsilon }dt\]$ вместо $\[\int_0^t {X(s)} dY(s)\]$
Не очень все равно укладывается.
Ведь с.в. от t не есть функция, поскольку значения X(t) и Y(t) неизвестны.
Это почти независимые переменные, только связанные дисперсией.