Теорма Ферма для четных показателей

[Maxim1984]

(A) Если уравнение
$X^{2P} + Y^{2P} = Z^{2P}$, (1)
где X, Y, Z – целые отличные от нуля числа, P – простое число > 2, имеет решение, то его можно представить в следующем виде:
$(kA_2B_2)^{2P} + [(A^{2P}_2 - B^{2P}_2)/2]^{2P} = [(A^{2P}_2 + B^{2P}_2)/2]^{2P}$,
где $k, A_2, B_2$ – нечетные попарно взаимно простые натуральные числа.
Доказательство:
В свое время Тержанян доказал, что уравнение (1) не имеет решений, при условии, что 2P не делит X или Y.
Можно полагать, что X, Y, Z – попарно взаимно просты. Пусть Y – четное, тогда X и Z нечетные. Как известно, если уравнение (1) имеет решение, то все решения можно представить в виде: $X^P = AB, Y^P = (A^2 - B^2)/2, Z^P = (A^2 + B^2)/2, (A, B) = 1.$ Учитывая, что (A, B) = 1, получаем, согласно основной теореме арифметики: $X^P = A^P_0B^P_0, Y^P = (A^{2P}_0 - B^{2P}_0)/2, Z^P = (A^{2P}_0 + B^{2P}_0)/2, (A_0, B_0) = 1.$
Уравнение (1) можно разложить на множители
$X^{2P} + Y^{2P} = Z^{2P}$;
$(X^2 + Y^2)(X^{2P} + Y^{2P})/X^2 + Y^2 = Z^{2P}; (X^2 + Y^2)G(X^2,Y^2) = Z^{2P}$
$(X^2 + Y^2, G(X^2,Y^2) = 1$ или P. Учитывая, что 2P|Y, получаем $(X^2 + Y^2, G(X^2,Y^2)) = 1$, а значит
$X^2 + Y^2 = Z^2P_1,$ (2)
где $Z_1|Z.$
Кроме того уравнение (1) можно разложить на множители
$(Z^2 - Y^2)(Z^{2P} - Y^{2P})/X^2 - Y^2 = X^{2P};$
$(Z^2 - Y^2)G(Z^2,Y^2) = X^{2P};$
$(Z^2 - Y^2, G(Z^2,Y^2) = 1$ или P. Учитывая, что 2P|Y, $(Z^2 - Y^2, G(Z^2,Y^2) = 1$, а значит $Z^2 - Y^2 = X^{2P}_1$, или
$X^{2P}_1 + Y^2 = Z^2$, (3)
где $X_1|X.$
Из уравнения (2) получаем: $X = A_1B_1, Y = (A^2_1 - B^2_1)/2, Z^P_1 = (A^2_1 + B^2_1)/2, (A_1, B_1) = 1.$
А из уравнения (3): $X^P_1 = A^P_2B^P_2, Y = (A^{2P}_2 - B^{2P}_2)/2, Z = (A^{2P}_2 + B^{2P}_2)/2, (A_2, B_2) = 1.$
Следовательно:
1. $A^2_1 - B^2_1 = A^{2P}_1 - B^{2P}_2, A_1B_1 = kA_2B_2 = A_0B_0, k > 1, (k, A_2B_2) = 1;$
2. $k^{2P} = G(Z^2,Y^2);$
3. $(kA_2B_2)^{2P} + [(A^{2P}_2 - B^{2P})/2]^{2P} = [(A^{2P}_2 + B^{2P})/2]^{2P}$;
4. $(A_1B_1)^{2P} + [(A^2_1 - B^2_1)/2]^{2P} = [(A^2_1 - B^2_1)/2 + B^{2P}_2]^{2P}$.■

[age]

Без подготовки это мало кто поймет!

Maxim1984 писал(а):

Из уравнения (2) получаем: $X = A_1B_1, Y = (A^2_1 - B^2_1)/2, Z^P_1 = (A^2_1 + B^2_1)/2, (A_1, B_1) = 1.$
А из уравнения (3): $X^P_1 = A^P_2B^P_2, Y = (A^{2P}_2 - B^{2P}_2)/2, Z = (A^{2P}_2 + B^{2P}_2)/2, (A_2, B_2) = 1.$
Следовательно:
1. $A^2_1 - B^2_1 = A^{2P}_1 - B^{2P}_2, A_1B_1 = kA_2B_2 = A_0B_0, k > 1, (k, A_2B_2) = 1;$

Не факт. Т.к. есть еще два варианта, когда
$Y = A_1B_1, X = (A^2_1 - B^2_1)/2, Z^P_1 = (A^2_1 + B^2_1)/2, (A_1, B_1) = 1.$
$Y = A^P_2B^P_2, X^P_1 = (A^{2P}_2 - B^{2P}_2)/2, Z = (A^{2P}_2 + B^{2P}_2)/2, (A_2, B_2) = 1.$
их тоже надо рассматривать.

[Maxim1984]

age в сообщении #225284 писал(а):

Не факт. Т.к. есть еще два варианта, когда


их тоже надо рассматривать.

Age Y - четно!

[age]

Maxim1984
Не факт, что именно четное делится на $P$.

[Maxim1984]

Age Тержанян доказал, что на P делится именно четное число.

[age]

Maxim1984
Очень много несостыковочек.
Во-первых, не факт, что $A_1, B_1$ - оба нечетные.
Во-вторых,

Maxim1984 писал(а):

Как известно, если уравнение (1) имеет решение, то все решения можно представить в виде: $X^P = AB, Y^P = (A^2 - B^2)/2, Z^P = (A^2 + B^2)/2, (A, B) = 1.$

Нет. А в виде $X^P = 2AB, Y^P = A^2 - B^2, Z^P = A^2 + B^2, (A, B) = 1$.
при этом именно $X$ получается число четное, следовательно, именно оно делится на $P$.
В-третьих, тогда получится не

Maxim1984 писал(а):

... то его можно представить в следующем виде:
$(kA_2B_2)^{2P} + [(A^{2P}_2 - B^{2P}_2)/2]^{2P} = [(A^{2P}_2 + B^{2P}_2)/2]^{2P}$,
где $k, A_2, B_2$ – нечетные попарно взаимно простые натуральные числа.

а в виде $(2PA_2B_2)^{2P} + (A^{2P}_2 - B^{2P}_2)^{2P} = (A^{2P}_2 + B^{2P}_2)^{2P}$.
А это уже другой вид. И вообще смысл числа $k^{2P} = G(Z^2,Y^2);$ мне не понятен. Зачем вы его вводите?

[anwior]

Уважаемый Maxim1984!
Вас не затруднит прислать мне копию статьи Тержаняна?
Заранее благодарю.
(сюда: [e-mail])

[Maxim1984]

Age X - нечетно и не делится на P (это доказал Тержанян).

[age]

Maxim1984
В таком случае $X=A^{2P}-B^{2P}$
2. Что $A$, $B$ - оба нечетные, тоже показал Тержанян?

[Maxim1984]

age в сообщении #225335 писал(а):

Maxim1984
В таком случае $X=A^{2P}-B^{2P}$
2. Что $A$, $B$ - оба нечетные, тоже показал Тержанян?

Покажи мне, где ты это увидел.

-- Пн июн 29, 2009 18:51:27 --

Age ты по ходу чего-то не понимаешь, я могу тебе объяснить что именно, но не буду. Читай книги!

[venco]

Maxim1984 в сообщении #225266 писал(а):

Уравнение (1) можно разложить на множители
$X^{2P} + Y^{2P} = Z^{2P}$;
$(X^2 + Y^2)(X^{2P} + Y^{2P})/X^2 + Y^2 = Z^{2P}; (X^2 + Y^2)G(X^2,Y^2) = Z^{2P}$
$(X^2 + Y^2, G(X^2,Y^2) = 1$ или P. Учитывая, что 2P|Y, получаем $(X^2 + Y^2, G(X^2,Y^2)) = 1$, а значит
$X^2 + Y^2 = Z^2P_1,$ (2)
где $Z_1|Z.$

Вот этот вывод мне непонятен.
Что обозначают $P_1$ и $Z_1$?

[age]

Maxim1984 писал(а):

(A) Если уравнение
$X^{2P} + Y^{2P} = Z^{2P}$, (1)
где X, Y, Z – целые отличные от нуля числа, P – простое число > 2, имеет решение, то его можно представить в следующем виде:
$(kA_2B_2)^{2P} + [(A^{2P}_2 - B^{2P}_2)/2]^{2P} = [(A^{2P}_2 + B^{2P}_2)/2]^{2P}$,
где $k, A_2, B_2$ – нечетные попарно взаимно простые натуральные числа.

Вот здесь.

[Бодигрим]

Хм, "Тержаняна в студию". Дайте ссылку на статью о том, что именно он доказал. Это не Уайлс, не Куммер и не Эйлер, чтобы все участники форума были в курсе его работ.

[sceptic]

Изложение результата Тержаняна есть у Рибенбойма в 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (гл. IV, п. 6, стр. 66-68). Для тех, кому книга недоступна - указанный фрагмент из нее.

[shwedka]

Terjanian, Guy Sur l'équation $x\sp{2p}+y\sp{2p}=z\sp{2p}$. (French) C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 285 (1977), no. 16, A973--A975.