Вопрос: оптимизация функционала по функции.

[paulus83]

Доброго дня!
Суть проблемы: имеется функционал следующего вида
J=\int_{x_1 }^{x_2 } {\frac{a(q(x,y))}{\int {a(q(x,y))dx} }dx}
a(q(x,y))=\int {\left( {\int {f(q(x,y))} dx} \right)}dy
*Все "неопределенные" интегралы в общем случае берутся в бесконечных пределах, но это условие, если это упростит задачу, может быть ослаблено.
Необходимо найти функцию q(x,y), которая доставит минимум этому выражению.
Возможно ли ее получение в аналитическом виде (и, разумеется, как именно, если возможно), например, как решение некоторого уравнения или системы уравнений?
Корректно ли в данном случае (т.е. при отсутствии в выражении производных искомой функции q(x,y) и при ее зависимости не от одной, а от двух и более переменных) использовать подход на основе уравнений Эйлера?

[мат-ламер]

paulus83. Проверьте, нет ли описки в условиях? В знаменателе, что, три интеграла? Может я не так понимаю.

-- Пн июн 22, 2009 17:45:24 --

Может в определении $a$ один интеграл?

[ИСН]

paulus83 в сообщении #223991 писал(а):

Все "неопределенные" интегралы в общем случае берутся в бесконечных пределах

C этого места поподробнее. В бесконечных? там всегда стоит интеграл по всей прямой (или там по плоскости)? ну так замените его на неизвестную константу, останется стандартная задача вариационного исчисления.

[paulus83]

Всем спасибо за ответы. Да, переупрощал, и в результате другая задача получилась. Добавлю конкретики. Вид функционала, более приближенный к исходной задаче, нужно переформулировать след. образом

J=\int_{x_1 }^{x_2 } {F\left( {\frac{b(x)}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {b(x)dx} }} \right)dx}
b(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {a\left( {x,y,q(x,y),\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {q(x,y)dx} } \right)dy}
Сразу прокомментирую: \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {b(x)dx – после нахождения искомой минимизарующей функции (т.е. q(x,y)) этот интеграл окажется некоторым числом, а \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {q(x,y)dx} – некоторой функцией от y (дело в том, что в том числе и в таком подынтегральном виде искомая функция q(x,y) входит в {a(...), возможно это окажется важным), общий определенный интеграл J также окажется числом, и как раз функцию q(x,y) нужно подобрать такую, чтобы это число оказалось наименьшим. Теперь вроде нигде не переупрощал и не описался.

[mserg]

А какова исходная задача?
Аналитическое решение вряд ли существует. Можно подстановкой переменных привести бесконечные интервалы к конечным и на сетке получить задачу оптимизации, решение которой даст численное оптимальное решение.

[paulus83]

Что ж в крайнем случае придется остановиться на численных методах и подождать возможности воспользоваться квантовым компьютером для результатов поточнее/побыстрее) Хотя желательна аналитика, конечно.
Но остался вопрос - делает ли отсутствие в подынтегральной функции $F(..)$ производных искомой минимизирующей функции $q(x,y)$ некорректным использование подхода на основе известных уравнений Эйлера (=Эйлера-Лагранжа)? То есть можно ли утверждать, что искомая минимизирующая функция $q(x,y)$ должна удовлетворять этому уравнению, сколь бы сложным не оказалось его решение в нашем случае. В явном виде такие ограничения мне не встречались.
А задача связана с определением в какой из всех возможных структур пребывает некоторая система (заданная мат. моделью) на основе обобщенных вероятностных характеристик.

[mserg]

У Вас функция $q(x,y)$ суть подвергается интегрированию при получении $b(x) $. Т.е. функция $q(x,y)$ не входит в функцию F(...). Так как же Вы получаете уравнение Эйлера-Лагранжа?

[Somewhere far beyond]

to paulus83
Психологический анализ, по двум вашим сообщениям установил: что решение....точнее попытка решить вашу задачу абсурдна...
Ваша цель опубликования текущего топика направлена на унижение участников форума, посредством доказательства вашей всеумности...
Но если я ошибаюсь, что вполне вероятно, то приведите постановку задачи в приемлемый вид, т.е. если условие, то что вы дали не оригинальное, то сформулируйте его, а далее уже сформулируйте ваше решение...
И тогда, Вам будет приятно помочь, но только старайтесь избегать неопределенно-тройной интеграл в знаменателе под интегралом.
И еще, озадачил вопрос, что значит: "Оптимизация функционала"?.....Как я знаю термин "оптимизация" применим исключительно к алгоритмам, но функционал это преобразование функции в число... Интересует вопрос как можно оптимизировать преобразование?

[paulus83]

to mserg
Угу, т.е. этому препятствует не явная а "подынтегральная" зависимость $J$ от $q(x,y)$, теперь прояснилось. Спасибо.
to Somewhere far beyond
..и Вам доброго дня.) Удивили Вы меня) Но учтем на будущее.) Это и есть "более приемлимый" (ещЁ более не получится, может быть только хуже) ), в знаменателе именно неопределенно-тройной интеграл, а почему это Вас так страшит? Хотите сказать, это прямая дорога в "аналитически нерешаемо"?)
"Оптимизация функционала" - имелось в виду "определение функции, от которой он зависит, доставляющей ему минимум или максимум".
P.S. Меньше псих. анализа, больше псих. синтеза))

[Утундрий]

Расставьте, пожалуйста, пределы интегрирования. Если, конечно, это вас не очень затруднит. Умолчания хороши, когда более-менее понятно - о чем идет речь, а здесь мы имеем явно не тот случай...

[AKM]

paulus83,

если Вам неизвестна кодировка символа $\infty$ --- то вот она: \infty .
Другие чудеса:
$\int_0^\infty f(x)dx$: $\int_0^\infty f(x)dx$.
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$.

Замечу также, что всякого рода психоаналитические соображения являются в данной теме/разделе оффтопиком. Достаточно (при необходимости) упрекнуть автора в некорректной постановке задачи.