Функция распределения Колмогорова

[ewert]

Ув. товарищи! Кто-нибудь слышал что-нибудь про асимптотику функции распределения Колмогорова в окрестности нуля?

Она там ну просто жутко быстро стремится к нулю. Но вот как конкретно?...

[worm2]

Если память мне ни с кем не изменяет, то ф.р. Колмогорова вычисляется примерно так:

$F(x) = 1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^ne^{-2x^2n^2}$, $x > 0$.

отсюда можно что-нибудь попробовать накопать...

[ewert]

worm2 в сообщении #224463 писал(а):

Если память мне ни с кем не изменяет, то ф.р. Колмогорова вычисляется примерно так:

$F(x) = 1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^ne^{-2x^2n^2}$, $x > 0$.

Не изменяет. Проблема в том, что при иксах, меньших примерно двух десятых, этот ряд становится практически непригодным для вычислений -- сходится сравнительно медленно, в то время как его сумма в пределах стандартной машинной точности не отличима от нуля.

[RIP]

Вроде бы, формула суммирования Пуассона для подобных рядов - самое оно. Или можно сразу воспользоваться готовой формулой преобразования для соответствующей тета-функции. Конкретно,

$$\sum_{n=-\infty}^\infty e^{n^2\pi i\tau+2niz}=(-i\tau)^{-1/2}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{(z-\pi n)^2/(\pi i\tau)}$$

(см., например, второго Уиттекера-Ватсона, п. 21.51).

[ewert]

RIP в сообщении #224544 писал(а):

Вроде бы, формула суммирования Пуассона для подобных рядов - самое оно.

Ага, и впрямь:

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^ne^{-2n^2x^2}={\sqrt{2\pi}\over x}\sum_{m=0}^{+\infty}e^{-{\pi^2\over 2x^2}\left({1\over2}+m\right)^2}.$$

Действительно, получается очень быстро сходящийся в окрестности нуля ряд, а заодно ещё и асимптотический.

Спасибо.

[worm2]

Хм... составители Библитотеки численного анализа НИВЦ МГУ, похоже, об этом приёме не знают. Функция распределения Колмогорова в ней вычисляется по (относительно) медленно сходящемуся ряду с числом членов ряда не более 100...

[Libelle]

Здесь можно найти подробное описание и сравнение различных методов вычисления значений функции распределения Колмогорова, правда на английском

http://www.iro.umontreal.ca/~lecuyer/my ... ksdist.pdf

[sergei1961]

Это же тета-функция. Идея использовать преобразование Пуассона, чтобы посчитать её, где плохо, через то, где хорошо, приходит в голову сразу же и как бы стандартная. Например, она используется в нашей статье:
О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций. НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Белгородского государственного университета. № 13 (68), Выпуск 17/2, 2009, С. 89--99.
Есть здесь:
http://unid.bsu.edu.ru/unid/res/ved/det ... T_ID=77756
Есть и другие способы-скажем, преобразования типа Ландена.
А вообще-то (см. скажем Уиттекер-Ватсон) эта функция просто равна
$\theta_4(0,q), q=\exp(-2x^2)$.
Кто и за каким её по новой табулирует, совершенно непонятно, малограмотные какие-то.