Задача по линейно независимой системе векторов

[nbyte]

Здравствуйте.
Рассматриваю следующую задачу

Цитата:

Допустим, система векторов $\[{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+...+{{v}_{n}}\]$ является линейно независимой.
Является-ли также линейно независимой система векторов:
$\[{{u}_{1}}={{v}_{1}},\,\,\,{{u}_{2}}={{v}_{1}}+2{{v}_{2}},\,\,\,{{u}_{3}}={{v}_{1}}+2{{v}_{2}}+3{{v}_{3}},\,\,\,...,\,\,\,{{u}_{n}}={{v}_{1}}+2{{v}_{2}}+...+n{{v}_{n}}.$
?

Меня интересуют два момента.
Подскажите пожалуйста, правильно-ли вообще сформулирована задача и если да, то какбы вы ответили?

[jetyb]

Для решения проверьте невырожденность матрицы перехода.

[nbyte]

Цитата:

Для решения проверьте невырожденность матрицы перехода.

А можно немного поподробней узнать как это сделать?

[ewert]

nbyte в сообщении #223571 писал(а):

Цитата:

Допустим, система векторов $\[{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+...+{{v}_{n}}\]$ является линейно независимой.

Не допустим. Надо $\{{v}_{1}},{{v}_{2}},\ldots...,{{v}_{n}\}.$

А что до матрицы перехода -- так надо её просто выписать. Она окажется треугольной и, следовательно, невырожденной.

[nbyte]

Цитата:

А что до матрицы перехода -- так надо её просто выписать. Она окажется треугольной и, следовательно, невырожденной.

Я незнаю как это сделать. (или непомню) Вы немогли-бы это подсказать?

[jetyb]

Строками матрицы являются координаты векторов $u_i$в базисе $\{v_1, \ldots,v_n\}.$ Если матрица невырождена, то новая система векторов линейно независима.

[ewert]

Выпишите формальное равенство:

$$\begin{pmatrix}\vec v_1\\ \vec v_2\\ \ldots\\ \vec v_n\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix}\vec u_1\\ \vec u_2\\ \ldots\\ \vec u_n\end{pmatrix}.$$

Какими должны быть элементы матрицы $A,$ чтобы это равенство формально описывала Ваши соотношения?...

[nbyte]

Я тут точно незнаю но думаю чтото на подобии

$$\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 & {...} & 0 \\ 1 & 2 & 0 & {...} & 0 \\ 1 & 2 & 3 & {...} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ 1 & 2 & 3 & {...} & n \\ \end{array}} \right)\]$$

(Извините если говорю ерунду)

[ewert]

Да ровно так и будет (я, кстати, перепутал буковки $u$ и $v$, за что и пардон). Ну и чему равен определитель этой матрицы?...

[VAL]

jetyb в сообщении #223577 писал(а):

Сформулирована правильно.

Разве?! Сомневаюсь, что условии дана "система" из одного вектора.

[nbyte]

Цитата:

Ну и чему равен определитель этой матрицы?...

Думаю(могу сильно ошибаться), что $n!$ ?
Тогда ответ - нет не является, так как матрица вырожденная.

[JollyRoger]

nbyte, да, $ n! $. Только она как раз невырожденная ( $ \det A = n! \neq 0 $ ).

[nbyte]

Тоесть она является или нет линейно независимой системой векторов?

[bot]

Кто она? Замечание VAL игнорируется и напрасно.

[nbyte]

Цитата:

Сомневаюсь, что условии дана "система" из одного вектора

Проверил. Условие я правильно переписал.

-- Вс июн 21, 2009 16:38:00 --

Меня интересует, какой считается линейно независимой система при вырожденной матрице? (лин. засиной/лин. независимой)