Теория вероятностей. Гауссовские случайные величины.

[Sinus]

Пусть $\xi$ и $\eta$ - независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если $\xi+\eta$ и $\xi-\eta$ независимы, то $\xi$ и $\eta$ являются гауссовскими величинами.

[Профессор Снэйп]

Не верю!!!

Пусть у меня есть две монеты: пятачок и копейка. Я их подкидываю. Если монета выпадает решкой, то я присуждаю соответствующей случайной величине значение $1$, в противном случае присуждаю значение $0$. Пусть $\eta$ --- результат подкидывания пятачка, а $\xi$ --- результат подкидывания копейки.

Неужели $\eta + \xi$ и $\eta - \xi$ --- зависимые в данном случае величины?

-- Вс июн 21, 2009 03:34:41 --

Упс! Виноват, фигню написал.

$P(\eta + \xi = 2 \mathop{\&} \eta - \xi = 0) \neq P(\eta +\xi=2) \cdot P(\eta -\xi=0)$

Но вот тривиальный контрпример: $\eta \equiv \xi \equiv 0$. Вроде всё выполняется...

[Sinus]

Действительно, нулевые и вообще вырожденные случайные величины удовлетворяют условию задачи. Однако они считаются гауссовскими с нулевой дисперсией.

[nn910]

Sinus в сообщении #223591 писал(а):

Пусть $\xi$ и $\eta$ - независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если $\xi+\eta$ и $\xi-\eta$ независимы, то $\xi$ и $\eta$ являются гауссовскими величинами.

Доказать что свертка то ли плотности,то ли ее квадрата совпадает со свертываемой функцией. В каком-то из этих двух случаев должно выводиться что это гауссовская плотность. Может кто лучше помнит...

[Юстас]

У Феллера во 2м томе доказано без предположения о конечности дисперсий. А приведенный здесь результат доказал в 40х годах Бернштейн. Все сводится, естественно, к функциональному уравнению.

[Sinus]

Большое спасибо, Юстас.