помогите решить определенный интерграл

[modz]

Подскажите пожалуйста как решить такую штуку:
$\int\limits_{1/2}^{\sqrt{2}/2}\frac{xarcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$

У меня получился ответ:
$\frac{\sqrt{3}{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{2}{\pi}}{8}-\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

Делал след. образом:
$\int\limits_{1/2}^{\sqrt{2}/2}xarcsin(x)d(arcsinx)$

Затем замена
arcsin(x)=t следовательно x=sin(t)

-- Ср июн 17, 2009 10:51:47 --

Помогите кто может

[EtCetera]

В общем, все верно. Только Вы, по-моему, дважды опечатались в ответе: не $\frac{\sqrt{3}\pi}{2}-\frac{\sqrt{2}\pi}{8}-\frac{\sqrt{2}-1}{2}$, а $\frac{\sqrt{3}\pi}{12}-\frac{\sqrt{2}\pi}{8}+\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

[meduza]

modz в сообщении #222694 писал(а):

Затем замена arcsin(x)=t следовательно x=sin(t)

Все правильно. После замены получите $\int_{\alpha}^{\beta} t \sin t dt$, где $\alpha$ и $\beta$ - новые пределы инетгрирования (как выражается новая переменная $t$ через старую $x$ вы уже написали). Этот интеграл легко берется по частям ($u = t$, $dv = \sin t dt$).

[modz]

Извиняюсь за наглость, но никак не могу решить след. интеграл:
$\int\limits_{0}^{1}\sqrt{2x+x^2}$

Хотел по частям, но там вылазиет такой интеграл:
$\int\limits_{0}^{1}\frac{x^2+x}{\sqrt{x^2+2x}}$

[ИСН]

Не надо по частям. Это то же, что $\sqrt{1+x^2}$, только ...

[terminator-II]

ИСН в сообщении #222761 писал(а):

Не надо по частям. Это то же, что $\sqrt{1+x^2}$, только ...

наверное всетаки с минусом

[ИСН]

(Ой, ну какие мелочи.) Да, с минусом, конечно. Только не таким, а наоборот.

[modz]

Ну у меня был такой вариант. Т.е.

$\sqrt{(x+1)^2-1}$
Только что мне с таким интегралом делать

[ИСН]

Взять или посмотреть в справочнике один раз, и запомнить. Он довольно противный с виду, но стандартный.

[modz]

Под рукой к сожалению нету справочника. Буду ооочень признателен если напишите ссылочку

[ИСН]

Короче, если хотите поработать руками, то $x=\ch t$. А если не хотите (что в данном случае нельзя осуждать - он противный, я же говорю), то возьмите производную от

$$x\sqrt{x^2-1} - \ln \left(x+{\sqrt{x^2-1}}\right)$$

и там дальше как-нибудь...

[modz]

Мне надо просто расчетку сделать, а сразу ответ после этого интеграла написать думаю будет неправильным. Поэтому и хотелось бы ссылку на решение этого интеграла

-- Ср июн 17, 2009 15:34:59 --

Скачал 3 справочника по высшей мат. не нашел разобранного интеграла
Скажите тогда конечный результат $\sqrt{x^2-1}$

[EtCetera]

modz
Для того, чтобы найти уже преобразованный интеграл $\int\sqrt{x^2-1}\,dx$ можете воспользоваться такими заменами:
1) $x=\ch t$ ($\sqrt{x^2-1}=\sh t$, $dx=\sh t\,dt$) - здесь уже все просто.
2) $x=\frac{1}{\cos t}$ ($\sqrt{x^2-1}=\tg t$, $dx=-\frac{\sin t}{\cos^2 t}\,dt$) - здесь стоит домножить числитель и знаменатель на $\cos t$, внести образовавшийся косинус в числителе под знак дифференциала, а выражение в знаменателе выразить через синус, используя основное тригонометрическое тождество
Так или иначе, после взятия неопределенного интеграла его неплохо бы "пригладить", используя формулы тригонометрии перед подстановкой численных значений по формуле Ньютона-Лейбница.

[modz]

чтобы сделать замену x=ch(t) необходимо знать формулы с ch(t) и sh(t). Я их не знаю

-- Ср июн 17, 2009 16:11:14 --

Делаю по второму способу EtCetera
Теперь нужно решить такой интеграл:

$\int\frac{1}{(1-x^2)^2}dx$
Всю голову уже сломал с этим интегралом

[sasha_vertreter]

По поводу ch(t) может быть посмотреть здесь

А по поводу интеграла от рациональной функции здесь

И, в целом, здесь

И вот хороший ресурс. (для выражения 1/(1-x^2)^2).

Только все-равно продумайте как самому получить тот же ответ.