Уравнение a^b=b^a в комплексных числах

[LetsGOX]

Добрый вечер, господа!
Вот натолкнулся на такую, казалось бы простую задачу, но полностью не могу ее решить
Надо найти все решения уравнения $a^b=b^a$, где a и b - произвольные комплексные числа
Мне показалось, что задачу надо преобразовать к виду $x^t=t^x$, и зафиксировав t, найти значения x, а потом, когда t будет пробегать все значения в $(-\inf,\inf)$, то бы получим все двойки решения
Кстати действтельно, решения должны быть двойками, ибо если $z=a^b-b^a$, т.е. функция 2-ух переменных, то должно быть 2 значения
Теперь собственно попытка решения, котрую я получил только для частного случая
Возьмем $x^t=t^x$, тогда $t^x=x^t$, тогда ${e^{ln(t)}}^x=x^t$ (Представили t в виде $t=e^{ln(t)}$), потом $\frac{e^{x\cdot ln(t)}}{x^t}=1$, и поэтому $e^{x\cdot ln(t)}\cdot x^{-t}=1$
Как решать такую штуку я не знаю, но заметил, что если взять t такое, что $ln(t)=-t$, то можно просто решить, рассмотрим этот частный случай - $ln(t)=-t$, тогда $ln(t)+t=0$, тогда $ln(t)+ln(e^t)=0$, тогда $ln(t\cdot e^t)=0$, и тогда $t\cdot e^t=e^0=1$, значит $t=W(1)$, где W - функция Ламберта
Мы взяли случай, когда $ln(t)=-t=W(-1)=u$, тогда можно преобразовать $e^{x\cdot ln(t)}\cdot x^{-t}=1$ в $e^{x\cdot u}\cdot x^u=1$, что явялется ${(e^x\cdot x)}^u=1$, и тогда $e^x\cdot x)=1^{\frac{1}{u}}$
После этого мы извлеакем корень u-ой степени, как из комплексного числа, и получаем ответ $x=W(1^{\frac{1}{u}})$
Итак единтсвенно найденное решение - это $t=-W(1)$ и $x=W(1^{\frac{1}{-W(1)}})$
А как решить в общем случае?

[MGM]

LetsGOX в сообщении #222608 писал(а):

Добрый вечер, господа!
Вот натолкнулся на такую, казалось бы простую задачу, но полностью не могу ее решить
Надо найти все решения уравнения $a^b=b^a$, где a и b - произвольные комплексные числа
Мне показалось, что задачу надо преобразовать к виду $x^t=t^x$, и зафиксировав t, найти значения x, а потом, когда t будет пробегать все значения в $(-\inf,\inf)$, то бы

А в чём разница

[LetsGOX]

MGM Была функция 2ух переменных, а стала одной - то есть я зафиксировал параметр t, как конкретное число (Скорее всего комплексное число)
Так всетаки можно эту штуку в общем решить?

[ИСН]

To begin with: про действительную ветвь Вы, конечно, всё знаете?

[MGM]

LetsGOX в сообщении #222625 писал(а):

MGM Была функция 2ух переменных, а стала одной - то есть я зафиксировал параметр t, как конкретное число (Скорее всего комплексное число)
Так всетаки можно эту штуку в общем решить?

А букву $a$ зафиксировать не пробовали?

[LetsGOX]

ИСН Нет, но мне показалось, что единственное действительное решение это $a=b$, причем при $a>0$ и $b>0$
MGM Как что называть без разницы - просто x привычнее, чем была бы переменная b

[MGM]

LetsGOX в сообщении #222628 писал(а):

ИСН Нет, но мне показалось, что единственное действительное решение это $a=b$, причем при $a>0$ и $b>0$
MGM Как что называть без разницы - просто x привычнее, чем была бы переменная b

Если так привычнее, LetsGOX, то может быть моя версия этого уравнения покажется и более простой
$\[ x^{\frac{1} {x}} = t^{\frac{1} {t}} \]$

[LetsGOX]

MGM Спасибо большое, но я все равно не понимаю, как можно свести это уравнение, скажем к функции Ламберта

[MGM]

LetsGOX в сообщении #222666 писал(а):

MGM Спасибо большое, но я все равно не понимаю, как можно свести это уравнение, скажем к функции Ламберта

Честно говоря, не знаю. А зачем Вам именно эта функция?
......................
Кстати, для действительных чисел, $x=t $ для $x>0t>0$; ответ неполный.
Как минимум одно исключение я могу сходу назвать
$x=2; t=4$

А так как между этими точками существует как минимум один максимум
функции $\[ x^{\frac{1} {x}} \]$, то таких пар $\[ x \ne t \] $ на отрезке$ [2,4] $континум.

PS Так что найти область решений в 4D пространстве будет задачей определённо нетривиальной,
а главное не понятно - зачем.
Это учебная задача или мат модель для каких-то реальных проблем?

[LetsGOX]

MGM Ага, а это уже наталкивает на мысли, спасибо большое
Задача чисто учебная, и в ее применимости я, к сожелнию, очень сомневаюсь
Кстати интересно, почему получаются именно 2 и 4 , может быть потому что это $[e]$ и ${[e]}^{[e]}$, где $e$ - известная постоянная, а $[]$ - целая часть числа ?