Корневые векторы

[Nimza]

Подскажите, как можно показать, что один и тот же ненулевой вектор не может быть корневым вектором, отвечающим двум различным собственным значениям? Использовать критерий прямой суммы: пересечение двух корневых подпространств - нулевой вектор - нельзя (просто разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств и доказывается в конечном счёте).

[vlad239]

Допустим, что $(A-\lambda_1 E)^a\cdot x=(A-\lambda_2 E)^b\cdot x=0$.

Воспользуйтесь взаимной простотой многочленов $(t-\lambda_1)^a$ и $(t-\lambda_2)^b$. Рассмотрите линейное представление их НОДа. Выведите отсюда, что $x=0$.

Влад.

[Nimza]

Из взаимной простоты следует, что их НОД это константа, так? Но как отсюда следует исходное утверждение?

[Полосин]

Пусть, например, $Ae_1=\lambda e_1, Ae_2=\lambda e_2+e_1$ и $Ae'_1=\mu e'_1, Ae_2=\mu e_2+e'_1$, причем $\lambda\ne\mu$, $e_1, e'_1$ ЛНЗ, тогда $\lambda e_2+e_1=\mu e_2+e'_1$. Подействуем оператором $A$ на обе части последнего равенства: $\lambda(\mu e_2+e'_1)+\lambda e_1=\mu(\lambda e_2+e_1)+\mu e'_1$, откуда $$e_1+e'_1=0$ - противоречие.

[vlad239]

Nimza в сообщении #221974 писал(а):

Из взаимной простоты следует, что их НОД это константа, так? Но как отсюда следует исходное утверждение?

Я же сказал - рассмотрите линейное представление.

Влад.

[Nimza]

Спасибо, разобрался.