Срочно! Помогите с мат. анализом!

[трапезун]

Если разложить экспоненту в ряд Тейлора до первой степени, то можно получить следующее:
$$\left|\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}-x\right|=\left|\frac{1+\lambda x+ O(\lambda^2)-1-\lambda x}{\lambda}\right| =\left|\frac{O(\lambda^2)}{\lambda}\right|\rightarrow 0 при \lambda\rightarrow 0 для всех x\in [a,b].

Действуя аналогично, получим

$$\left|\left(\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}-x\right)'\right|=|e^{\lambda x}-1|=|1+O(\lambda)-1|=|O(\lambda)|\rightarrow 0$$

при
$\lambda\rightarrow0$ для всех $x\in [a,b].$

Но при этом, как известно, остаточные члены $O(\lambda^2)$ и $O(\lambda)$ зависят не только от $\lambda$, но и от $x$. А мне необходимо получить равномерную оценку при $\lambda\rightarrow0$

$$\sup_{x\in[a,b]}\left|\left(\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}-x\right)^{(n)}\right|\rightarrow0,$$

где $n=0,1$

То есть, нужно, чтобы $\left|\frac{O(\lambda^2)}{\lambda}\right|\rightarrow0$ и$|O(\lambda)|\rightarrow 0$ не для каждого фиксированного икса, а равномерно.

Очень срочно нужна помощь! Выручайте, ребята! Заранее огромное спасибо!!!!!

[Cobalt]

$$\left|\frac{e^{\lambda x}-1}{\lambda}-x\right|=\left|\frac{1+\lambda x+\frac{\lambda^2 x^2}{2}e^{\alpha} -1-\lambda x}{\lambda}\right| =\left|\frac{\lambda x^2}{2}e^{\alpha}\right|\leq \left|\frac{\lambda x^2}{2}e^{b}\right|\rightarrow 0 при \lambda\rightarrow 0 для всех x\in [a,b].
Тут альфа - некоторое число, между 0 и \lambda b. Альфа зависит от \lambda x, но оно ограничено числом b (можем считать, что \lambda < 1). Поэтому есть равномерная сходимость на отрезке [a, b].

[трапезун]

Чем я могу обосновать первое равенство? Это остаточный член в форме Лагранжа?

[Cobalt]

Ну да.