Теорема Гамильтона-Кэли

[ShMaxG]

В книжке Прасолова: пусть $ p\left( t \right) = \left| {tE - A} \right| $. Тогда $ p\left( A \right) = 0 $.

Его доказательство: для жордановой формы оператора док-во очевидно, т.к. $ \left( {\lambda - t} \right)^n $ является аннулирующим многочленом жордановой клетки $ J_n \left( \lambda \right) $.

Я хочу убедиться в том, что правильно все понимаю.

Всегда существует матрица $T$, такая, что $ A = T^{ - 1} BT $, где $B$ - жорданова форма матрицы $A$. Причем $ p\left( A \right) = T^{ - 1} p\left( B \right)T $.
Вообще, $ p\left( t \right) = \left| {tE - A} \right| = \left| {tE - B} \right| $.
Последнее в свою очередь равно произведению скобок вида $ \left( {\lambda - t} \right)^n $ для каждой жордановой клетки.
Из того, что $ \left( {\lambda E - J_n \left( \lambda \right)} \right)^n = 0 $ (нулевой матрице) следует, что $ \left( {\lambda - t} \right)^n $ - аннулирующий многочлен жордановой клетки $ J_n \left( \lambda \right) $. Поэтому и исходный $ p\left( t \right) $, состоящий из произведения скобок, являющихся аннулирующими многочленами жордановых клеток, является аннулирующим многочленом матрицы $B$, а следовательно и матрицы $A$.

[AD]

ShMaxG в сообщении #221474 писал(а):

Я хочу убедиться в том, что правильно все понимаю.

Да, так всё и есть. Ну то есть

$$p_A(A)=TP_A(B)T^{-1}=TP_B(B)T^{-1}=T\left(\bigoplus_{i=1}^k(J_{n_i}(\lambda_i)-\lambda_iE)^{n_i}\right)T^{-1}=T\left(\bigoplus_{i=1}^k\mathbf{0}_{n_i}\right)T^{-1}=0$$

А еще есть очень бойянистый контрольный вопрос на эту тему, для совсем полного понимания:
Почему нельзя доказать теорему так:

$$p(t)=|tE-A|\quad\Rightarrow\quad p(A)=|AE-A|=0$$

[ShMaxG]

Ну хотя бы потому, что $ \left| {AE - A} \right| $ - число, а $ p\left( A \right) $ - матрица.

-- Пт июн 12, 2009 11:50:47 --

А что такое $ \oplus $?

[AD]

ShMaxG в сообщении #221532 писал(а):

А что такое $ \oplus $?

Ну прямая сумма. В смысле склеивание матрицы из клеточек.

[lofar]

Есть, на мой взгляд, более естественное доказательство теоремы Гамильтона-Кэли. Оно проходит не только для полей, но и для коммутативных колец.

Пусть $R$ -- коммутативное кольцо и $M_R$ -- конечно-порожденный $R$-модуль: $M_R=u_1R+\ldots u_nR$. Пусть также $\varphi$ -- эндоморфизм $M_R$.

Для $\varphi$ найдется матрица $A$ размера $n\times n$ с коэффициентами из $R$ такая, что $(\varphi(u_1),\ldots, \varphi(u_n))=(u_1,\ldots, u_n)A$ (в общем случае такая матрица не единственна).

Теорема (теорема Гамильтона-Кэли). $|A-E\varphi|$ является нулевым эндоморфизмом $M_R$.
Доказательство.
Рассмотрим кольцо $R[\varphi]$, являющееся подкольцом кольца эндоморфизмов $M_R$, порожденным $R$ и $\varphi$. $R[\varphi]$ очевидно коммутативно и $M$ можно рассматривать как $R[\varphi]$-модуль. Имеем $(u_1,\ldots,u_n)(A-E\varphi)=0$, а значит $(u_1,\ldots,u_n)(A-E\varphi)(A-E\varphi)^{\#}=0$ ($B^{\#}$ -- союзная матрица к матрице $B$). Но $BB^{\#}$ -- скалярная матрица у которой на диагонали стоит $|B|$. Следовательно имеем $u_1|A-E\varphi|=\ldots u_n|A-E\varphi|=0$, это и означает, что $|A-E\varphi|$ является нулевым эндоморфизмом.