Найти все функции

[daogiauvang]

Найти все монотонные вещественные функции удовлетворяет условиям:$f(f(x))=f(x)+2x$

[Spook]

Одну нашел: $f(x)=-x$

[Sasha2]

Ну если таким способом (без объяснений), то сразу добавляйте туда еще и 2x.

[Spook]

И, кстати, полиномов больше нет. Дальше пока никак

[ShMaxG]

А если взять производную, то получим уравнение

$$ f'^2 - f' - 2 = 0 $$

. Откуда получаем необходимые условия на эту функцию. Оттуда получаем только уже найденные решения.

-- Сб июн 13, 2009 00:56:19 --

А, это наверно только для дифференцируемых...

[Spook]

ShMaxG в сообщении #221726 писал(а):

А если взять производную, то получим уравнение

$$ f'^2 - f' - 2 = 0$$

Только там

$$f'(f)f' - f' - 2 = 0.$$

[ShMaxG]

Spook
Да, это я очень опрометчиво написал

[Spook]

У меня получается, что дифференцируемых решений больше нет. Пусть $f'(x)>0$. Имеем:

$$f'(x)=\frac{2}{f'(f(x))-1}\Rightarrow f'(f(x))\geqslant 1\Rightarrow f'(x)\geqslant 1\Rightarrow$$ $$\Rightarrow f'(f(x))\leq 3\Rightarrow f'(x)\leq 3\Rightarrow f'(f(x))\geqslant\frac53\Rightarrow f'(f(x))\leq\frac{11}5$$

и т.д. итерации сойдутся к какому-то числу, но уже известно, что $f'(x)=2$ удовлетворяет условию. Значит, неубывающих дифференцируемых решений боьше нет. Аналогично для невозрастающих.

[daogiauvang]

Спасибо всем!!!
Вообще это решение последовательности:$ u_{n+1}=1+\frac{2}{u_n}$ для $u_0>0$ и для $u_0<0$

Существует два решения: $f(x)=2x$ и $f(x)=-x$

-- Сб июн 13, 2009 08:43:58 --

Может быть это решение ошибилось...что будет даньше если функция не дифференциальна???

[Профессор Снэйп]

Я рассуждал так.

Пусть для каждого $x \in \mathbb{R}$

$u^x_0 = x$
$u^x_{n+1} = f(u^x_n)$

Тогда $u^x_{n+2} = u^x_{n+1} + 2u^x_n$ или

$$ \left( \begin{array}{c} u^x_n \\ u^x_{n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{сc} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c} x \\ f(x) \end{array} \right) $$

Найдя собственные числа и собственные вектора фигурирующей в последнем равенстве матрицы, получаем

$$ u^x_n = (-1)^n \frac{2x-f(x)}{3} + 2^n \frac{x+f(x)}{3} $$

Правда, не придумал пока, что с этим делать дальше.

[Руст]

Ошибаетесь. Бесконечно дифференцируемых (за исключением точки 0) решений бесконечно много.
Вначале надо заметит, что если $x$неподвижная точка, то $x=0$ и 0 действительно неподвижная точка.
Из $f(x)=f(y)=a$ получаем $x=(f(a)-a)/2=y$, т.е. функция строго монотонная. Легко проверяется, что $f(x)>a \forall x$ или $f(x)<a \forall x$ приводят к противоречию, т.е. функция меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Если она монотонно убывает, то $f(x)<0,$ при $x>0$.
Тогда $2x=f(y)-y, y=f(x)$. Справа непрерывная монотонно растущая функция, поэтому слева монотонная функция и функция $f(x)$ принимает все значения, т.е. $f:R\to R$ биекция. Из монотонности она непрерывна. Это верно и для монотонно растущей функции.
Если обозначить через $x_0,x_{n+1}=f(x_n)$, то $x_n=a(x_0)(-1)^n+b(x_0)2^n$.
Из $c=f(x)/x=f(y)/y$ получаем, $\frac{f(cx)}{cx}=1+\frac{2}{c}=\frac{f(cy)}{cy}$.
Пусть $c>1$ и определим бесконечно дифференцируемую монотонно растущую функцию $f_0:X_0=(1,c_1)\to (c_1,c_1+2=с_2)=X_1$. Тогда определены функции $f_n:X_n=(c_n,c_{n+1})\to (c_{n+1},c_{n+2})=X_{n+1}$ по формуле $f_n(x)=x+2f_{n-1}^{-1}(x), n>0, f_{n-1}(x)=(f_n(x)-x)/2,n\le 0$. Несложно сделать их бесконечно дифференцируемым за исключением точки 0. В особенности это удобно в случае $c_1=2$, тогда функция автоморфная $f(4x)=4f(x)$. Для убывающих функций так же можно построит аналогичную конструкцию.

[Spook]

Руст, но ведь $ u_{n+1}=1+\frac{2}{u_n}$ имеет всего два предела -1 и 2. Не следует ли из этого, что производных будет тоже только две, а значит и функций тоже две? Ведь это соотношение возникает, если в предположении дифференцируемости просто посчитать производные в исходном уравнении и выразить производную в одной точке (x) через другую(f(x)).

[Руст]

Это имеет отношение к дифференцируемости в нуле. К тому же надо исследовать обратную последовательность $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$, который не имеет предела. Это означает, что для других функций нельзя добится дифференцируемости в 0. В остальных точках можно построит бесконечно дифференцируемой.

[Spook]

Как запутанно все оказалось. Спасибо.