Проблемма в доказательстве.(Вект. подпространства).

[SMiV]

Доказать, что векторное пространство $\upsilon$ имеет только два подпространства $\Longleftrightarrow$ пространство $\upsilon$ одномерное.
Я пробовал доказать, но высветились некоторые неувязки:
Достат.Усл. $dim\upsilon=1 \Longrightarrow \upsilon=L(a) \Longrightarrow \upsilon=\alpha a$. Если $dim\upsilon=1$, то в его базисе лин. комбинация векторов состоит из одного вектора. Базисом $\upsilon$ может быть любой его вектор, кроме нулевого. Рассмотрим линейно независимые комбинации векторов в $\upsilon: [\forall b\in\upsilon-(0)] [\exists \beta | \beta b=0_v \Longleftrightarrow \beta=0], V=L(b)$ - подпространство $\upsilon. V=\upsilon$, т.к. <!-- s:?: --><img src=\\
Так вот, как доказать равенство $V=\upsilon$ ?
Необх.Усл. $\upsilon$ обяз. содержит нулевое подпространство, обязательно содержит само себя в качестве подпространства. $dim\upsilon\neq0$, т.к. в $\upsilon$ 2 подпространства, а в нулевом только одно. $dim\upsilon<2$ , т.к. <!-- s:?: --><img src=\\

Подскажите, пожалуйста, как быть здесь.

[Dan_Te]

Ну вроде же все доказано уже.
Достаточность: подпространство может быть нулевым или ненулевым. Если оно ненулевое, то оно совпадает с V. Поэтому возможных подпространств всего два.
Необходимость: если вас не удовлетворяет написанное, то попробуйте от противного. Предположите, что пространство более, чем одномерное, и явно укажите более чем 2 подпространства.

[SMiV]

Dan_Te писал(а):

Достаточность: подпространство может быть нулевым или ненулевым. Если оно ненулевое, то оно совпадает с V. Поэтому возможных подпространств всего два.

Преподаватель сказала объяснить, почему V=\upsilon...

Dan_Te писал(а):

и явно укажите более чем 2 подпространства.

Да, я так и хотел, но как это сделать?

[Dan_Te]

Вообще-то, это очевидно.

SMiV писал(а):

Да, я так и хотел, но как это сделать?

Такое ощущение, что вы не представляете себе одно- и двумерное пространство. Двумерное пространство - это обычная плоскость, на которой отмечено начало координат, из которого выходят два неколлениарных базисных вектора. Одномерное пространство - соответственно прямая. Одномерное линейное подпространство в двумерном пространстве - это любая прямая, проходящая через начало координат. Таких подпространств даже не два, а целый континуум. Выбирайте любые два, которые вам больше понравятся.

[SMiV]

Спасибо, разобрался!