Решение нелинейного дифференциального уравнения.

[merlin]

Помогите решить уравнение $-u''+q \exp{u}=0$.
Уможая на $u'$ и интегрируя получаю$(u')^2=2q \exp{u}$
Что с этим делать дальше - не ясно.

[Бодигрим]

Заменой $v=u/2$ получим уравнение вида $v'=a \exp v$.

[merlin]

Бодигрим в сообщении #220657 писал(а):

Заменой $v=u/2$ получим уравнение вида $v'=a \exp v$.

A что дальше с ним делать? Как туда tanh приплести?

[AKM]

Зачем приплетать чего-то? Разделяем переменные и решаем.

merlin в сообщении #220654 писал(а):

Уможая на $u'$ и интегрируя получаю$(u')^2=2q \exp{u}$

Постоянная интегрирования сама исчезла?

[ewert]

merlin в сообщении #220654 писал(а):

получаю$(u')^2=2q \exp{u}$
Что с этим делать дальше - не ясно.

Если $q=\mathrm{const}$ (а это явно подразумевается), то Вы имеете дело попросту с уравнением с разделяющимися переменными. Извлекайте корень -- и спокойно разделяйте.

(да, и терять произвольные постоянные, как было метко замечено -- воистину грешно)

[merlin]

А тanh дан в ответе.
Сформулирую точнее задачу. Нужно показать что решение этого уравнения будет
$u(x)=\ln{(\frac{a(\tanh^2({\frac{1}{2}\sqrt{a(b+x)^2}})-1)}{2q})}$

[AKM]

Ну так дорешайте (с произв. постоянными) и преобразуйте экспоненты в гиперболич. ф-ции.
Или, как велено в задании, -- наоборот: подставляйте, дифференцируйте. Вам определение $\tanh x$ неизвестно? Не нравится $\tanh x$ --- преобразуйте его в экспоненты.

[ewert]

merlin в сообщении #220829 писал(а):

А тanh дан в ответе.
Сформулирую точнее задачу. Нужно показать что решение этого уравнения будет
$u(x)=\ln{(\frac{a(\tanh^2({\frac{1}{2}\sqrt{a(b+x)^2}})-1)}{2q})}$

$$u'=\pm\sqrt{2qe^u+C_1}; \qquad \pm x=\int{du\over\sqrt{2qe^u+C_1}}=\int{d(2qe^u+C_1)\over2qe^u\,\sqrt{2qe^u+C_1}}=$$

$$=\Bigg[y=\sqrt{2qe^u+C_1}\Bigg]=\int{2dy\over y^2-C_1}={2\over\sqrt{C_1}}\,\mathop{\mathrm{arth}}{y\over\sqrt{C_1}}+C_2={2\over\sqrt{C_1}}\,\mathop{\mathrm{arth}}\sqrt{{2q\over C_1}e^u+1}+C_2;$$

$${2q\over\sqrt{C_1}}\,e^u=-1+\th^2\left({\sqrt C_1\over 2}(x+C_2)\right),$$

т.е. вроде как ровно то, что и предполагалось. Только это, между прочим, ещё бабушка надвое сказала: то ли гиперболический тангенс, то ли тригонометрический, то ли вообще никакой не тангенс. Зависит от знака $C_1.$

[merlin]

Спасибо огромное