2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение08.06.2009, 12:41 
Помогите решить уравнение $-u''+q \exp{u}=0$.
Уможая на $u'$ и интегрируя получаю$(u')^2=2q \exp{u}$
Что с этим делать дальше - не ясно.

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение08.06.2009, 12:54 
Аватара пользователя
Заменой $v=u/2$ получим уравнение вида $v'=a \exp v$.

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение08.06.2009, 13:00 
Бодигрим в сообщении #220657 писал(а):
Заменой $v=u/2$ получим уравнение вида $v'=a \exp v$.


A что дальше с ним делать? Как туда tanh приплести?

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение08.06.2009, 14:29 
Аватара пользователя
Зачем приплетать чего-то? Разделяем переменные и решаем.
merlin в сообщении #220654 писал(а):
Уможая на $u'$ и интегрируя получаю$(u')^2=2q \exp{u}$
Постоянная интегрирования сама исчезла?

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение08.06.2009, 21:08 
merlin в сообщении #220654 писал(а):
получаю$(u')^2=2q \exp{u}$
Что с этим делать дальше - не ясно.

Если $q=\mathrm{const}$ (а это явно подразумевается), то Вы имеете дело попросту с уравнением с разделяющимися переменными. Извлекайте корень -- и спокойно разделяйте.

(да, и терять произвольные постоянные, как было метко замечено -- воистину грешно)

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение09.06.2009, 00:51 
А тanh дан в ответе.
Сформулирую точнее задачу. Нужно показать что решение этого уравнения будет
$u(x)=\ln{(\frac{a(\tanh^2({\frac{1}{2}\sqrt{a(b+x)^2}})-1)}{2q})}$

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение09.06.2009, 07:50 
Аватара пользователя
Ну так дорешайте (с произв. постоянными) и преобразуйте экспоненты в гиперболич. ф-ции.
Или, как велено в задании, -- наоборот: подставляйте, дифференцируйте. Вам определение $\tanh x$ неизвестно? Не нравится $\tanh x$ --- преобразуйте его в экспоненты.

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение09.06.2009, 08:01 
merlin в сообщении #220829 писал(а):
А тanh дан в ответе.
Сформулирую точнее задачу. Нужно показать что решение этого уравнения будет
$u(x)=\ln{(\frac{a(\tanh^2({\frac{1}{2}\sqrt{a(b+x)^2}})-1)}{2q})}$

$$u'=\pm\sqrt{2qe^u+C_1}; \qquad \pm x=\int{du\over\sqrt{2qe^u+C_1}}=\int{d(2qe^u+C_1)\over2qe^u\,\sqrt{2qe^u+C_1}}=$$
$$=\Bigg[y=\sqrt{2qe^u+C_1}\Bigg]=\int{2dy\over y^2-C_1}={2\over\sqrt{C_1}}\,\mathop{\mathrm{arth}}{y\over\sqrt{C_1}}+C_2={2\over\sqrt{C_1}}\,\mathop{\mathrm{arth}}\sqrt{{2q\over C_1}e^u+1}+C_2;$$
$${2q\over\sqrt{C_1}}\,e^u=-1+\th^2\left({\sqrt C_1\over 2}(x+C_2)\right),$$
т.е. вроде как ровно то, что и предполагалось. Только это, между прочим, ещё бабушка надвое сказала: то ли гиперболический тангенс, то ли тригонометрический, то ли вообще никакой не тангенс. Зависит от знака $C_1.$

 
 
 
 Re: Решение нелинейного дифференциального уравнения.
Сообщение11.06.2009, 01:02 
Спасибо огромное

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group