Копался в старых черновиках, нашлось уравнение, которое, видимо, откуда-то переписал но так и не начал решать. Вот:
Пусть
![$f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/1/aa18375cc1c750aa70204abefdad9f8682.png)
(
![$\mathbb{Q}^+$ $\mathbb{Q}^+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/a/53a73264f603074ad061f3d3f360db7c82.png)
положительные рациональные числа ).
При этом
![$f(xf(y)) = \frac {f(x)} y$ $f(xf(y)) = \frac {f(x)} y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/7/337686fb87a68f03e0f471e9aa00fa9982.png)
Построить такую
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
( ну или еще лучше решить это уравнение ).
Соображения:
Пусть
![$y=1$ $y=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/e/0ae115a65fe296fc4641cc1190e57d4a82.png)
. Тогда
![$f(xf(1)) = f(x)$ $f(xf(1)) = f(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/2/55215dd5362164d3048d9226080620ed82.png)
.
Далее, пусть
![$x=1$ $x=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f41f51aeb9528548f1409a3a0ec6164082.png)
. Тогда
![$f(f(y)) = \frac {f(1)} y \Rightarrow f(1) \equiv yf(f(y))$ $f(f(y)) = \frac {f(1)} y \Rightarrow f(1) \equiv yf(f(y))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/1/c41dc1936467f2e404f26f68ed152ac782.png)
Подставляем в первое, получаем
![$f(xyf(f(y))) = f(x) = \frac {f(xy)} {f(y)} \Rightarrow f(xy) = f(x)f(y)$ $f(xyf(f(y))) = f(x) = \frac {f(xy)} {f(y)} \Rightarrow f(xy) = f(x)f(y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/d/5cdbbc888db4bb9d30cd9f760b775d0482.png)
.
Совершенно просто устанавливается, что
![$f(f(y)) = \frac 1 y$ $f(f(y)) = \frac 1 y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/e/75e0f6e544f4e343b2399697539b822382.png)
.
Более того, исходное уравнение
![$f(xf(y)) = \frac {f(x)} y$ $f(xf(y)) = \frac {f(x)} y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/7/337686fb87a68f03e0f471e9aa00fa9982.png)
эквивалентно системе уравнений
![$\forall x,y \in \mathbb{Q}^+$ $\forall x,y \in \mathbb{Q}^+$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/89389f250c600137ee5b999ebf7f799982.png)
1)
![$f(xy) = f(x)f(y)$ $f(xy) = f(x)f(y)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/7/7a72c0c7caf557cdf0ee6b23c06a0a0282.png)
2)
![$f(f(y)) = \frac 1 y$ $f(f(y)) = \frac 1 y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/e/75e0f6e544f4e343b2399697539b822382.png)
Последнее выглядит в некотором смысле лучше, чем исходное, но ответа по-прежнему не дает. В каком направлении подумать? Никаких ограничений на
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, помимо указанных, нет.