Любопытные искусственные конструкции

[Дима Тишков]

Недавно стал испытывать любопытство к конструкциям типа следующей:
Функция $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, а для $x\in (0,1)$ действие проще проиллюстрировать примером:

$$x=0{,}0111011_2\mapsto \underbrace{\mathbf 00}_2\underbrace{111}_3\underbrace{0}_1\underbrace{11}_2\mapsto\langle 2,3,1,2\rangle\mapsto\cfrac 1{2+\cfrac 1{3+\cfrac 1{1+\cfrac 12}}}=f(x)$$

Функция получается взаимно однозначная и, что любопытнее, непрерывная. На мой взгляд эта искусственная конструкция очень даже естественна . Вполне вероятно, эта функция уже исследовалась, но я не припомню, чтобы натыкался на какую-нибудь информацию о ней. Может быть кто-нибудь из участников форума знает какие-нибудь любопытные свойства этой функции или других функций в том же духе.

[Nilenbert]

Что-то в этом духе:Stern-Brocot Tree

[Дима Тишков]

Нашел обратную функцию.

[Schraube]

Дима Тишков писал(а):

Вполне вероятно, эта функция уже исследовалась, но я не припомню, чтобы натыкался на какую-нибудь информацию о ней. Может быть кто-нибудь из участников форума знает какие-нибудь любопытные свойства этой функции или других функций в том же духе.

Очень смутные ассоциации. Быть может, что не в тему.
В 60-е была работа А.Г.Постникова о построении "нормальных цепных дробей", т.е. об экстраполяции понятия нормального числа на цепные дроби.
Изложение есть в одном из томов трудов МИАН: А.Г.Постников "Арифметическое моделирование случайных процессов". Кажется содержание этого тома вошло и в его "Избранные труды" (вышли пару лет назад). Посмотрите, а вдруг " зацепит"

[AD]

Цитата:

4. The function is purely singular (Denjoy 1938).

Ух ты
Обратная в смысле.

[Gafield]

Дима Тишков писал(а):

Нашел обратную функцию.

Любопытно. На картинке функция $?(x)-x$ периодическая. Напрашивается вопрос о в разложении по системе Хаара. Там степени двойки и здесь тоже. Функция типа негладкая и фрактальная. Для исследования таких всплески как раз подходят.

[RIP]

Conway box function.

[maxal]

А мне эта сумма вспомнилась - http://dxdy.ru/topic5348.html
Казалось бы очень искусственное задание суммы, а она тем не менее прекрасно сворачивается.

[Дима Тишков]

Собственно заинтересовался такими конструкциями я после того, как наткнулся на идею чуть более экзотическую чем в первом посте. Но пока руки не доходили запостить ее, случайно обнаружил, что меня опередили. По-моему, красивая штука.