Установить сходимость/расходимость ряда

[rar]

Установить сходимость/расходимость ряда:

$$\frac{2}{3}+\frac{3}{7}+\frac{4}{13}+\frac{5}{21}+...+\frac{n+1}{n^2+n+1}+...$$

Не могу понять с помощью какого признака установить сходимость или расходимость этого ряда. Признак Даламбера не работает (D=1). Помогите разобраться.

[AD]

$$\frac1{(n+1)-\frac n{n+1}}\geqslant\frac1{n+\frac12}$$

[ewert]

С помощью интегрального плюс признака сравнения. Чему эквивалентен общий член ряда, и что можно сказать про соотв. неопр. интеграл?...

-- Сб июн 06, 2009 20:47:35 --

AD в сообщении #220135 писал(а):

$$\frac1{(n+1)-\frac n{n+1}}\geqslant\frac1{n+\frac12}$$

а вот это -- пусть и верно, но явно лишнее.

[rar]

ewert в сообщении #220137 писал(а):

С помощью интегрального плюс признака сравнения.

Во-первых. Что значит с помощью интегрально плюс признак сравнения? Это сначала применить интегральный признак Коши, а потом применить признак сравнения? Или вы имели ввиду одно из двух: либо интегральный признак Коши, либо признак сравнения?
Во-вторых. Какой именно признак сравнения? Их два - первый признак сравнения и второй признак сравнения.

[AD]

ewert писал(а):

а вот это -- пусть и верно, но явно лишнее.

Чем Вам не угодило? Почему лишнее?

rar писал(а):

Что значит с помощью интегрально плюс признак сравнения? Это сначала применить интегральный признак Коши, а потом применить признак сравнения? Или вы имели ввиду одно из двух: либо интегральный признак Коши, либо признак сравнения?

Ну а Вы не бойтесь, примените сначала, а потом уже спрашивайте

[ewert]

rar в сообщении #220143 писал(а):

Во-первых. Что значит с помощью интегрально плюс признак сравнения? Это сначала применить интегральный признак Коши, а потом применить признак сравнения?

Естественно, наоборот. Признаки сравнения для того и придуманы, чтоб упростить задачу перед более деликатным анализом.

rar в сообщении #220143 писал(а):

Во-вторых. Какой именно признак сравнения?

Было чётко сказано -- признак, связанный с эквивалентностью. Т.е. второй.
(Хотя не знаю, как они там у вас нумеровались; дело ведь не в цифирках, а в существе. И очень рекомендую: обращать внимание не на официальное название, а именно на суть формулировки.)

-- Сб июн 06, 2009 21:10:09 --

AD в сообщении #220148 писал(а):

Чем Вам не угодило? Почему лишнее?

Явно избыточной изысканностью. Что в просторечии именуется декадансом.

[rar]

AD в сообщении #220135 писал(а):

$$\frac1{(n+1)-\frac n{n+1}}\geqslant\frac1{n+\frac12}$$

Не понятно для чего это нужно.

[AD]

rar в сообщении #220152 писал(а):

Не понятно для чего это нужно.

Дабы применить чистый признак сравнения. Первый, так сказать. То есть обойтись без интегрального. Хотя я согласен с ewertом, что это - странная цель - без интегрального признака обойтись.
Слева написан общий член ряда, ну немного преобразованный. Справа - ну почти гармонический ряд. Можно еще для пущей "декадансообразности по ewertу" написать, что $\frac1{n+\frac12}\geqslant\frac1{n+1}\geqslant\frac12\cdot\frac1n$