Найти сумму ряда

[rar]

Найти сумму ряда:

$$1+\frac{m-1}{m}+\left(\frac{m-1}{m}\right)^2+...+\left(\frac{m-1}{m}\right)^n+...$$

Не используя даже первого признака сравнения. То есть, это самое начало. В ответе написано:

$$m$$

Не могу понять как найти сумму этого ряда. Помогите.

[Виктор Викторов]

Это же геометрическая прогрессия!

[rar]

Начиная с какого члена ряда? Со второго?

[Виктор Викторов]

С первого.

[ewert]

да со всех каких угодно.

Припомнилось по смежности. Один товарищ по комнате во времена оны тщательно рассматривал обложку альбома, который ему почему-то посчастливилось достать. И, вглядываясь в её извивы, в восторге воскричал: "Да это ж ....а!"...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #219865 писал(а):

да со всех каких угодно.

Ему же надо в формулу вставлять.

ewert в сообщении #219865 писал(а):

Припомнилось по смежности. Один товарищ по комнате во времена оны тщательно рассматривал обложку альбома, который ему почему-то посчастливилось достать. И, вглядываясь в её извивы, в восторге воскричал: "Да это ж ....а!"...

??????????? Мы теперь здесь ещё и анекдоты рассказываем, а я думал для этого есть другой сайт.

[ewert]

да тут ведь сам вопрос анекдотичен. Метко ж было замечено, что это -- всего-навсего геометрическая прогрессия.

[rar]

Получается так:

$$S_n=1+\frac{\frac{m-1}{m}\left[1-\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right]}{1-\frac{m-1}{m}}=m-(m-1)\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$$

$$S=\lim_{n\to\infty}\left[m-(m-1)\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right]=m-\lim_{n\to\infty}(m-1)\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$$

Теперь с вычислением предела возникло затруднение. Помогите.

[meduza]

rar в сообщении #219861 писал(а):

Не могу понять как найти сумму этого ряда. Помогите.

$\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{m-1}{m}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{m-1}{m}} = m$. Здесь ряд сходится, т.к. модуль знаменателя прогрессии $\left|\frac{m-1}{m}\right| < 1$ для любых $m>0$.

[ewert]

да уж разумеется. (Если $m>0,$ естественно.)

[Виктор Викторов]

meduza в сообщении #219873 писал(а):

rar в сообщении #219861 писал(а):

$\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{m-1}{m}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{m-1}{m}} = m$. Здесь ряд сходится, т.к. модуль знаменателя прогрессии $\left|\frac{m-1}{m}\right| < 1$ для любых $m>0$.

Мне кажется, что неравенство $\left|\frac{m-1}{m}\right| < 1$ выполняется только при $m>\frac{1}{2}\right|$.

-- Пт июн 05, 2009 19:53:46 --

rar в сообщении #219872 писал(а):

Получается так:

$$S_n=1+\frac{\frac{m-1}{m}\left[1-\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right]}{1-\frac{m-1}{m}}=m-(m-1)\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$$

$$S=\lim_{n\to\infty}\left[m-(m-1)\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right]=m-\lim_{n\to\infty}(m-1)\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$$

Теперь с вычислением предела возникло затруднение. Помогите.

Вам, конечно, полезно вычислить этот предел, но проще (и элегантнее) вычислить сумму этого ряда в общем виде, а потом подставить Ваши значения.