Эйлерово целое деление несимметрично относительно нуля (?)

[GrishinUS]

Читаю Вирта, он пишет :

"следовательно эйлеровское целое деление несимметрично относительно нуля и для него справедливы равенства :
$(-m)/n = m/(-n) = -(m/n)$"

что это значит?
чем это свойство полезно/примечательно?

дальше эйлеровской арифметике противопоставляется модульная (конгруэнтная) :

"в модульной (конгруэнтной) арифметике значение $m MOD n$ фактически есть некоторый класс конгруэнтности, т.е. множество целых, а не единственное число."

как это?

[GrishinUS]

кое-что нашел тут http://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation
тем не менее буду рад любым комментариям по теме

[Бодигрим]

Пусть $F(m,n)=m/n$ - эйлеровское деление. Тогда эта функция не является четной ни по первому, ни по второму аргументу в отдельности (т. е. не является симметричной относительно нуля): $F(m,n)\ne F(-m,n)$, $F(m,n)\ne F(m,-n)$. Но является нечетной (читай: асимметричной) по каждому из аргументов в отдельности: $F(-m,n)=F(m,-n)=-F(m,n)$.

-- 23:29 02.06.2009 --

GrishinUS в сообщении #218621 писал(а):

"в модульной (конгруэнтной) арифметике значение $m \bmod n$ фактически есть некоторый класс конгруэнтности, т.е. множество целых, а не единственное число."
как это?

Здесь функция вычисления остатка принимает значения не в виде одного конкретного целого числа из $\mathbb{Z}$, а в виде некоторого подмножества $\mathbb{Z}$ специального вида. А именно $m \bmod n = \{ x \mid (x-m) \text{~делится на~} n\}$.

Подмножества $\mathbb{Z}$ можно складывать естественным образом. Догадываетесь каким?

[GrishinUS]

Бодигрим в сообщении #219256 писал(а):

Пусть $F(m,n)=m/n$ - эйлеровское деление. Тогда эта функция не является четной ни по первому, ни по второму аргументу в отдельности (т. е. не является симметричной относительно нуля): $F(m,n)\ne F(-m,n)$, $F(m,n)\ne F(m,-n)$. Но является нечетной (читай: асимметричной) по каждому из аргументов в отдельности: $F(-m,n)=F(m,-n)=-F(m,n)$.


Здесь функция вычисления остатка принимает значения не в виде одного конкретного целого числа из $\mathbb{Z}$, а в виде некоторого подмножества $\mathbb{Z}$ специального вида. А именно $m \bmod n = \{ x \mid (x-m) \text{~делится на~} n\}$.

Подмножества $\mathbb{Z}$ можно складывать естественным образом. Догадываетесь каким?

Спасибо за подробный ответ. Честно говоря, нет, не догадываюсь. Что почитать по этой теме?

[Бодигрим]

GrishinUS в сообщении #219474 писал(а):

Что почитать по этой теме?

Ой, конкретно по кольцам вычетов (это теория операций с этими самыми подмножествами специального вида) - любой университетский курс высшей (общей) алгебры или теории чисел. Если одолеете. Просто по теории чисел, если она вас интересует, из несистематических курсов я бы предложил Дэвенпорт Г. — Высшая арифметика. Введение в теорию чисел.

-- 20:52 03.06.2009 --

Теперь о сложении подмножеств. Общая идея следующая. Если есть множество $M$ и операция для элементов из него (обозначим ее как $*$), то естественно ввести аналог этой операции, действующей над подмножествами $A,B\subset M$, в виде $A*B=\{x\in M| \,\,\exists a\in A \,\,\exists b\in B \,\,x=a*b\}$. Соответственно для целых чисел и операций сложения и умножения - аналогично. Например, сумма двух подмножеств целых чисел - это множество, состоящее из всех элементов, которые можно получить, складывая те или иные пары элементов из исходных подмножеств.

Так вот, для подмножеств специального вида $m \bmod n$ выполняются следующие замечательные свойства: $ (m_1\bmod n)+(m_2\bmod n)=(m_1+m_2)\bmod n$ и $ (m_1\bmod n)\cdot(m_2\bmod n)=(m_1\cdot m_2)\bmod n$. Здесь в левой части стоит бинарная операция над множествами, справа - множество и знак равенства говорит нам о том, что эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Более-менее понятно?

[GrishinUS]

Большое спасибо за ответ,

Бодигрим в сообщении #219488 писал(а):

Так вот, для подмножеств специального вида $m \bmod n$ выполняются следующие замечательные свойства: $ (m_1\bmod n)+(m_2\bmod n)=(m_1+m_2)\bmod n$ и $ (m_1\bmod n)\cdot(m_2\bmod n)=(m_1\cdot m_2)\bmod n$. Здесь в левой части стоит бинарная операция над множествами, справа - множество и знак равенства говорит нам о том, что эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Более-менее понятно?

первое свойство называется вроде бы аддитивностью, второе вроде бы транзитивность, но могу ошибаться...

Бодигрим в сообщении #219488 писал(а):

Теперь о сложении подмножеств. Общая идея следующая. Если есть множество $M$ и операция для элементов из него (обозначим ее как $*$), то естественно ввести аналог этой операции, действующей над подмножествами $A,B\subset M$, в виде $A*B=\{x\in M| \,\,\exists a\in A \,\,\exists b\in B \,\,x=a*b\}$. Соответственно для целых чисел и операций сложения и умножения - аналогично. Например, сумма двух подмножеств целых чисел - это множество, состоящее из всех элементов, которые можно получить, складывая те или иные пары элементов из исходных подмножеств.

Вот здесь не совсем понятно два момента :
1) Объединение множеств знаю, пересечение и разность тоже знаю. А вот что за операция такая "сложение подмножеств"? Т.е. на примере, есть два множества $A \{1,2,3\}$ и $B \{4,5,6\}$ $A*B=\{5,7,9\}$, правильно? А что если множества имеют разное количество элементов (кстати этот факт скорее всего называется одним коротким словом, только вот каким?)?
2) почему называется суммой, а ставите знак умножения "$*$"?

[Бодигрим]

GrishinUS в сообщении #219609 писал(а):

А вот что за операция такая "сложение подмножеств"?

Когда мы пишем, например, $$ (m_1\bmod n)+(m_2\bmod n)$, то у нас происходит именно что сложение (под)множеств. Слева и справа от знака + у нас ведь не числа стоят, а целые множества.

Цитата:

Т.е. на примере, есть два множества $A=\{1,2,3\}$, $B=\{4,5,6\}$ и $A+B=\{5,7,9\}$ , правильно?

Нет. $A+B=\{ 1+4,1+5,1+6,2+4,2+5,2+6,3+4,3+5,3+6 \}=\{5,6,7,8,9\}$. Ну и разное количество элементов при таком выполнении действий ничему не мешает.

[GrishinUS]

До меня вроде дошло,
Вы знаком $*$ обозначили "неопределенную" операцию, правильно?

[Бодигрим]

Угу.

[GrishinUS]

Спасибо за помощь!