Вопрос про упорядоченные множества (терминология)

[nikov]

Рассмотрим вполне упорядоченные счетные множества. Некоторые из них обладают тем свойством, что их элементы можно пронумеровать в порядке возрастания. Есть ли какое-то название у этого свойства? Эквивалентно ли оно тому, что в каждом подмножестве найдется минимальный элемент?

[Xaositect]

nikov в сообщении #219773 писал(а):

Эквивалентно ли оно тому, что в каждом подмножестве найдется минимальный элемент?

Это определение вполне упорядоченного множества.

nikov в сообщении #219773 писал(а):

Некоторые из них обладают тем свойством, что их элементы можно пронумеровать в порядке возрастания. Есть ли какое-то название у этого свойства?

Что имеется в виду? что порядок изоморфен порядку на натуральных числах?

[nikov]

Xaositect в сообщении #219787 писал(а):

nikov в сообщении #219773 писал(а):

Эквивалентно ли оно тому, что в каждом подмножестве найдется минимальный элемент?

Это определение вполне упорядоченного множества.

Виноват, неверно перевел с английского. Имелось в виду totally ordered set или линейно упорядоченное множество.

Xaositect в сообщении #219787 писал(а):

nikov в сообщении #219773 писал(а):

Некоторые из них обладают тем свойством, что их элементы можно пронумеровать в порядке возрастания. Есть ли какое-то название у этого свойства?

Что имеется в виду? что порядок изоморфен порядку на натуральных числах?

Ну вот, например, множество неотрицательных рациональных чисел - счетное, линейно упорядоченное, и в нем даже есть минимальный элемент. Есть различные способы его нумерации (биективного отображения на натуральные числа), но его невозможно пронумеровать с сохранением порядка.

А какие множества возможно так пронумеровать? Только ли вполне упорядоченные?

[Xaositect]

Биекция с сохранением порядка называется изоморфизмом упорядоченных множеств.
Т.о. требуемое условие - изоморфизм порядку натуральных чисел.
Еще в этом случае можно сказать, что множество упорядочено по ординалу $\omega$. Необходимые определения: порядковый тип - это класс изоморфных порядков, а ординал - это порядковый тип вполне упорядоченного множества. Ординал $\omega$ - это порядковый тип множества натуральных чисел.
Существуют счетные вполне упорядоченные множества, не обладающие таким свойством, например $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$, где $\forall n\in\mathbb{N}: \infty>n$. Ординал этого множества обозначается $\omega+1$. Вообще, существует несчетное множество счетных ординалов.

[nikov]

Xaositect в сообщении #219800 писал(а):

Существуют счетные вполне упорядоченные множества, не обладающие таким свойством, например $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$, где $\forall n\in\mathbb{N}: \infty>n$.

Спасибо, замечательный пример.

[Виктор Викторов]

nikov в сообщении #219773 писал(а):

Рассмотрим вполне упорядоченные счетные множества. Некоторые из них обладают тем свойством, что их элементы можно пронумеровать в порядке возрастания.

Вам многое объяснили здесь, но некоторые вещи остались в тени. Счетное множество – множество эквивалентное множеству натуральных чисел (т. е. можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел). По-английски это denumerable set. Если же счетное множество пронумеровано, т. е. конкретно каждому элементу придан натуральный индекс, то по-английски это enumerated set. Но счетное множество не обязательно состоит из натуральных или рациональных чисел. Вы слегка запутались с тем, что рассматривали конкретное счетное множество, скорее всего множество натуральных чисел (а ещё ярче всё вылезает в множестве рациональных чисел), где уже есть естественный порядок.
Вполне упорядоченные множества (не обязательно счетные) – это множества, у которых каждое непустое подмножество имеет первый элемент. Соответственно иногда и сам порядок и вполне упорядочение может совпадать с естественным порядком (если он есть; пример множество натуральных чисел), а иногда нет (например, множество рациональных чисел). Будучи точным нужно указать, что в случае совпадения с естественным порядком возможны и другие упорядочения такие, что совпадение с естественным порядком отсутствует. Например, пусть в множестве натуральных чисел сначала идут в естественном порядке все четные числа, а затем в естественном порядке все нечетные числа. (Подумайте останется ли так упорядоченное множество натуральных чисел вполне упорядоченным?).

nikov в сообщении #219795 писал(а):

Виноват, неверно перевел с английского. Имелось в виду totally ordered set или линейно упорядоченное множество.

По-английски обо всём этом (и о многом другом) есть замечательная и легко читаемая книга: Abraham A. Fraenkel. Set Theory and Logic.