Количество групп порядка n

[arseniiv]

Для него есть какое-нибудь явное выражение? Или неявное.

Правильно я подумал, что группа 2-го порядка только одна, а 3-го - две?

[maxal]

A000001

[arseniiv]

maxal, спасибо за последовательность! Вижу, что одной для всякого порядка формулы нет - так и предполагал.

Я почему-то думал, что есть две группы 3-го порядка (пусть их элементы e, a, b):

1) $ a^2 = b^2 = e,\;ab = b,\;ba = a $

2) $ ab = ba = e,\;a^2 = b,\;b^2 = a $

Первая неверна или вторая? (Или я в обоих ошибся?)

А никто мне не посоветует ли учебник по теории групп, чтобы его можно было достать в электронном виде?

[venco]

Первая - не группа:

$(a*b)*a=b*a=a$
$a*(b*a)=a*a=e$

[arseniiv]

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Для каждого простого $p$ существует единственная (с точностью до изоморфизма) группа этого порядка. Это группа $\mathbb{Z}_p$. Числа $2$ и $3$ --- простые

[Виктор Викторов]

arseniiv в сообщении #215592 писал(а):

А никто мне не посоветует ли учебник по теории групп, чтобы его можно было достать в электронном виде?

Можно начать с книги П. С. Александрова "Введение в теорию групп". А скачать здесь http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/3893db ... 8b608.djvu

[arseniiv]

Вот спасибо всем вам!

Сегодня построил две группы 4го порядка, интересно. (Одна $ {\Bbb Z}_4 $, а другая $ \left( {{\Bbb Z}_2 } \right)^2 $)

[Профессор Снэйп]

Начиная с $n=6$ некоторые группы становятся некоммутативными и там уже всё гораздо, гораздо сложнее...

[arseniiv]

Профессор Снэйп в сообщении #215914 писал(а):

Начиная с $n=6$ некоторые группы становятся некоммутативными и там уже всё гораздо, гораздо сложнее...

Знаю-знаю. Например, $ S_3 $ и выше.

Обнаружил, что вращения с совмещением квадрата в 2D или даже 3D (что соответствует отражениям в 2D) - группа, а куба в 3D - не группа (а как жалко) уже. И доказывать не пришлось - по вышеприведённой последовательности групп порядка 6 две, очевидно $ {\Bbb Z}_6 $ и $ {\Bbb Z}_2 \times {\Bbb Z}_3 $. И повороты куба ни в одну из них не вписываются...

-- Чт май 21, 2009 21:46:15 --

Вот начитаюсь и потом хочу перечислить себе все 5 групп порядка 8...

-- Чт май 21, 2009 22:34:17 --

Ой. Я думал, вращений куба 6, а их 8. Но группа вращений куба ведь непредставима в виде произведения циклических групп?

[vlad239]

Если Вы имеете в виду группу движений куба в трехмерном пространстве, то она изоморфна $S_4$. Вот так забавно устроена жизнь.

Влад.

[arseniiv]

Не всех движений, а лишь поворотов (без отражений). Его повороты образуют группу?

-- Чт май 21, 2009 23:29:06 --

Да вроде.
Что не освещено в той книге, какие можно предложить образующие для этой группы (вращений куба). Вроде нужно всего два образующих: два перпендикулярных поворота на $ \pi / 2 $

[vlad239]

Вы имеете в виду группу тех преобразований, которые реализуемы в трехмерном пространстве. Вот про нее я и пишу. Не люблю почему-то слова "группа вращений".

Влад.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #215930 писал(а):

...групп порядка 6 две, очевидно $ {\Bbb Z}_6 $ и $ {\Bbb Z}_2 \times {\Bbb Z}_3 $.

Вообще-то это одна и та же группа, $\mathbb{Z}_6 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ А вторая группа порядка $6$ --- это, как уже было справедливо замечено, $S_3$.

[RichardZorgi]

Вот начитаюсь и потом хочу перечислить себе все 5 групп порядка 8...


Z8, Z4 + Z2, Z2 + Z2 + Z2, D4 (группа диэдра(движений)), Q8 - кватернионов