математический анализ. Несобственный интеграл

[ewert]

Алина:) в сообщении #219705 писал(а):

доказать ,что$\int_{a+1}^{\infty}( \frac{\int_{a}^{\infty} f(y) dy} {\int_{a}^{x} f(t) dt} )dx$

Вот это уже формально корректно. Но тут -- давно обещанная следующая придирка. А сходится ли интеграл в числителе ваще?... т.е. имеет ли он хоть какой-то смысл?... Об этом в условии задачи -- явный молчок.

[Алина:)]

понятно..
так просто оказалось..
спасибо

а если сверху не было бы интеграла?
то есть
$\int_{a+1}^{\infty}\frac{ f(x) dx} {\int_{a}^{x} f(t) dt} $

[Dan B-Yallay]

Алина:) в сообщении #219714 писал(а):

а если сверху не было бы интеграла?
то есть
$\int_{a+1}^{\infty}\frac{ f(x) dx} {\int_{a}^{x} f(t) dt} $

Тогда зависит от того, сходится ли сам интеграл $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$, а вообще говоря нужны будут доп. информация.

$$\int_{a+1}^{\infty}\frac{ f(x) dx} {\int_{a}^{x} f(t) dt}=\int_{a+1}^{\infty} \left[ \dfrac d {dx}\ln \left(\int_a^x f(t)dt \right) \right]dx= \ln \left(\int_a^x f(t)dt \right)\Big|_{x=a+1}^{x=\infty}$$

[Алина:)]

а если дополнительно ещё давно,например,что $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$
расходится?
какие ещё нужны условия для расходимости целого?

[Dan B-Yallay]

Я в предидущем посте добавление сделал. Получается сходимость(расходимость) $\int_a^{\infty}f(t)dt$ влечет сходимость(расходимость) внешнего интеграла.

[Алина:)]

спасибо..
но на f на надо ли в таком случае накладывать условие её непрерывности на
$\left[a; +\infty\right]$?

[Dan B-Yallay]

По крайней мере надо исключить уход $f$ в бесконечность.
Конечные разрывы вроде бы не критичны.