Решение интеграла.

[Ворон]

Здравствуйте. Возник маленький вопросик при решении дифура..
В результате решения я пришёл к интегралу:

$\int\limits_{0}^{t} th^2 \tau (sht \cdot ch \tau - cht \cdot sh \tau)d \tau =$
$= sht \int\limits_{0}^{t} th^2 \tau \cdot ch \tau d \tau - cht \int\limits_{0}^{t} th^2 \tau \cdot sh \tau)d \tau = ...$

Как его решать?

Зарание спасибо.

[ShMaxG]

А что такое

$$ \operatorname{th} \tau ? $$

Если это гиперболический тангенс, то пользуйтесь

$$ \operatorname{th} \tau = \frac{{\operatorname{sh} \tau }} {{\operatorname{ch} \tau }} $$

В первом интеграле внесите косинус под дифференциал, а во втором - синус. И воспользуйтесь

$$ \operatorname{ch} ^2 \tau - \operatorname{sh} ^2 \tau = 1 $$

[Ворон]

Да, это тангенс )
Вроде как теперь ситуация прояснилась

$ sht \int\limits_{0}^{t} \frac{sh^2 \tau }{ch \tau} d\tau - cht \int\limits_{0}^{t} \frac{(ch^2 \tau - 1) sh \tau }{ch^2 \tau} d\tau = $
$ sht \int\limits_{0}^{t} \frac{ch^2 \tau - 1 }{ch \tau} d\tau - cht \int\limits_{0}^{t} \frac{(ch^2 \tau - 1) sh \tau }{ch^2 \tau} d\tau = ....$

Если всё верно, то впринципе дальше я сам

[ShMaxG]

Да не, в первом интеграле можно было не сокращать косинусы, а под дифференциал затащить. Придете к интегралу от простенькой рациональной функции.

[terminator-II]

мндя... а всего то надо было в лоб расписать через экспоненты гирерболические функции

[Ворон]

ShMaxG в сообщении #218936 писал(а):

Да не, в первом интеграле можно было не сокращать косинусы, а под дифференциал затащить. Придете к интегралу от простенькой рациональной функции.

Я честно говоря неочень понял что там нужно затаскивать под знак дифференциала. У меня вроде как получился табличный интеграл или это не правильно?

terminator-II в сообщении #218939 писал(а):

мндя... а всего то надо было в лоб расписать через экспоненты гирерболические функции

Мне вырисовывается жуткая картина если честно ))

[ShMaxG]

$$ \frac{{\operatorname{sh} ^2 \tau }} {{\operatorname{ch} ^2 \tau }}\operatorname{ch} \tau d\tau = \frac{{\operatorname{sh} ^2 \tau }} {{\operatorname{ch} ^2 \tau }}d\operatorname{sh} \tau = \frac{{\operatorname{sh} ^2 \tau }} {{1 + \operatorname{sh} ^2 \tau }}d\operatorname{sh} \tau = \frac{{x^2 }} {{1 + x^2 }}dx $$

с соответствующей заменой

$$ x = \operatorname{sh} \tau $$

[Ворон]

Спасибо, теперь понятно
А мой вариант тоже годиться?

[ShMaxG]

Ну Вы только в первом интеграле косинусы сократили...

Цитата:

У меня вроде как получился табличный интеграл

Что же это за таблица интегралов такая? Напишите его сюда.

[Ворон]

Да, действительно я думал разбить дробь )

[ShMaxG]

Интеграл разности в разность интегралов? Тоже можно, но замены все равно делать придется

[Ворон]

Спасибо большое, Ваш способ выглядит куда проще и понятней

-- Пн июн 01, 2009 22:14:58 --

Ой, чтото я запутался с интегралом

$$ \int\limits_{0}^{t}\frac{x^2dx}{1+x^2} = sh \tau - \frac{1}{sh \tau} arctg \frac{1}{sh \tau} = .... $$

Подставляем пределы....Но ведь $sh(0) = 0$, тогда получается деление на ноль

[Ворон]

Ап

[ShMaxG]

Вы интеграл не правильно вычислили...

[Ворон]

Ой, точно

Он равен $x - arctgx$ ?