Мера Лебега на плоскости

[inf76]

Колмогоров и Фомин определяют лебегову меру сначала для ограниченных плоских множеств. Мера Лебега множества А вычисляется ими как нижняя грань множества площадей всех не более чем счётных покрытий множества А прямоугольниками. При этом оговаривается, что вычисления проводятся только в том случае, когда множество А измеримо по Лебегу. Поскольку с одной стороны существуют неизмеримые множества (пример приводится через несколько страниц), а с другой стороны любое ограниченное множество на плоскости можно покрыть совокупностью прямоугольников, то возникает вопрос: А что происходит с нижней гранью множества площадей, если множество А неизмеримо? Так как сумма счётного множества действительных чисел определена только как сумма ряда, то нижняя грань берётся по суммам рядов (в общем случае). Тогда один случай неизмеримого множества, когда все ряды расходящиеся. И нижняя грань просто не существует. Правильно ли это?
Теперь пусть хоть один из рядов сходится и нижняя грань существует. Может ли множество А быть неизмеримым и в этом случае?

[ewert]

inf76 в сообщении #218776 писал(а):

Тогда один случай неизмеримого множества, когда все ряды расходящиеся. И нижняя грань просто не существует. Правильно ли это?

Неправильно, поскольку ряды тут просто не при чём. Нижняя грань существует всегда и не выше площади того прямоугольника, в который вложено это множество.

[AD]

И называется эта грань "внешней мерой" соответствующего множества. А еще вводят "внутреннюю меру" (это что-то типа внешней меры дырок в множестве), и оказывается, что множество измеримо тогда и только тогда, когда внешняя мера равна внутренней (а если строго больше - то неизмеримо).

То есть внешняя мера существует для всех множеств, но проблема в том, что она не является мерой. Поэтому намеренно заужают класс множеств, дабы добиться от меры хороших свойств. Но при этом измеримых множеств все равно достаточно много для любых практических целей.

[ewert]

AD в сообщении #218795 писал(а):

А еще вводят "внутреннюю меру" (это что-то типа внешней меры дырок в множестве),

Зачем так лирично? Просто дополнение к внешней мере дополнения.

[AD]

ewert в сообщении #218805 писал(а):

Зачем так лирично?

Останавливает меня ГАИшник сегодня ... Нашел к чему придраться: машины у меня нет!!

[inf76]

ewert в сообщении #218792 писал(а):

inf76 в сообщении #218776 писал(а):

Тогда один случай неизмеримого множества, когда все ряды расходящиеся. И нижняя грань просто не существует. Правильно ли это?

Неправильно, поскольку ряды тут просто не при чём. Нижняя грань существует всегда и не выше площади того прямоугольника, в который вложено это множество.

Одну ошибку (мою) поймал. Действительно, площадь любого элементарного множества (состоящего из прямоугольников) не выше площади прямоугольника, в который вложено. С рядами не понял. Если элементарное множество состоит из счётного множества прямоугольников, то, как считать его площадь? Как я понимаю, это сумма ряда, составленного из площадей прямоугольников.

AD в сообщении #218795 писал(а):

И называется эта грань "внешней мерой" соответствующего множества. А еще вводят "внутреннюю меру" (это что-то типа внешней меры дырок в множестве), и оказывается, что множество измеримо тогда и только тогда, когда внешняя мера равна внутренней (а если строго больше - то неизмеримо).

Это я, как раз, понимаю, но хотелось бы разобраться и в конструкции без внутренней меры.

AD в сообщении #218795 писал(а):

То есть внешняя мера существует для всех множеств, но проблема в том, что она не является мерой. Поэтому намеренно заужают класс множеств, дабы добиться от меры хороших свойств. Но при этом измеримых множеств все равно достаточно много для любых практических целей.

То, что класс множеств заужают, я тоже понимаю. Колмогоров и Фомин пишут, что внешняя мера, рассматриваемая на измеримых множествах, называется лебеговой мерой. Как показал ewert, моя идея, что если множество неизмеримо, то его внешняя мера не существует, ошибочна. Но тогда, возникает вопрос: посчитали внешнюю меру. Не прибегая к сравнению с внутренней мерой, можно ли сказать измеримо множество или нет? (Скорее всего, нельзя).

[vlad239]

Посчитать внешнюю меру у неизмеримого множества трудно. Все конструкции неизмеримых множеств используют аксиому выбора. Стандартное неизмеримое множество на отрезке можно так модифицировать, чтоб помещалось в любой наперед заданный отрезок, а можно так, чтобы на любом отрезке была его точка. Поэтому внешняя мера может быть какая угодно (от 0 до длины отрезка).

В то же время, как мы понимаем, существует и измеримое множество с наперед заданной (внешней) мерой.

Влад.

[inf76]

vlad239 в сообщении #218876 писал(а):

Поэтому внешняя мера может быть какая угодно (от 0 до длины отрезка).

Опять не понял. Если внешняя мера нуль, то и внутренняя не больше нуля. Т. е. множество измеримо и меры нуль. Или я не туда въехал? Меня учили уважать людей из 239 школы.

[vlad239]

К сожалению 0 не включается. То есть она из полуоткрытого интервала $(0,l]$.
Внутренняя же у стандартного примера неизмеримого множества вроде как всегда нуль. Оно же ни одного отрезка содержать не может.

Влад.

[inf76]

С нулём разобрались. Спасибо. Ещё один вопрос о том же. Колмогоров и Фомин при определении множества измеримого по Лебегу обходятся только внешней мерой. Они пишут, что множество А называется измеримым по Лебегу, если для каждого положительного ε найдётся такое элементарное множество, что симметрическая разность множества А и этого элементарного множества меньше чем ε. Но, если множество А неизмеримо, что не сработает в этом определении? Для некого положительного ε (и тогда начиная с него для каждого меньше этого ε) не найдётся такого элементарного множества, что упомянутая симметрическая разность меньше ε?

[ewert]

inf76 в сообщении #218861 писал(а):

, но хотелось бы разобраться и в конструкции без внутренней меры.

Не выйдет. Пафос меры Лебега как раз и состоит в сопоставлении внешней меры со внутренней. Которая по существу (хотя и не формально) как раз и сводится к внешней мере дополнения. На что AD и указал -- пусть формально и неаккуратно, но зато верно по существу.

А проблема тут вот в чём. Традиционная жорданова конструкция получалась незамкнутой относительно дополнений. Лебегова же -- замкнута просто по определению. В чём её и удачность.

[inf76]

ewert в сообщении #218996 писал(а):

inf76 в сообщении #218861 писал(а):

, но хотелось бы разобраться и в конструкции без внутренней меры.

Не выйдет.

А как же тогда понять определение меры Лебега у Колмогорова и Фомина?

[ewert]

Не знаю. Я их очень давно не читал (и перечитывать лень), а Вы точной формулировки не привели. Но сильно сомневаюсь (по оставшимся воспоминаниям), что ихнее определение хоть сколько-то отличается от традиционного.

[inf76]

inf76 в сообщении #218932 писал(а):

множество А называется измеримым по Лебегу, если для каждого положительного ε найдётся такое элементарное множество, что симметрическая разность множества А и этого элементарного множества меньше чем ε.

Вот формулировка у Колмогорова и Фомина. Она дана для плоских ограниченных множеств.

[ewert]

Не верю. Чтоб Колмогоров с Фоминым могли бы себе позволить формулировку "множество меньше числа" -- категорически не верю.