Исследовать на равномерную непрерывность: sin(x*sin(x))

[Хет Зиф]

Че то завяз с задачкой: исследовать на равномерную непрерывность: $f(x)=\sin(x\sin x)$, на отрезке: $ I=(0;+\infty)$. Понятно что не равномерно, но че то просто доказать не получается.

[Руст]

Для показа неравномерной непрерывности достаточно показать, что расстояния между последовательными минимумами и максимумами стремися к нулю при больших х.

[Хет Зиф]

Пока не нахожу простого способа это грамотно показать, хотя что больше всего расстраивает, что это интуитивно понятно и даже все можно показать на пальцах, исследуя эту функцию.Рассуждения такие:
Возьмем $x=[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n]$, тогда на этом промежутке значения функции: $g(x)=x\sin x$ будут изменяться от $[\frac{\pi}{2}-\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n]$. На этом интервале функция: $f(x)=\sin(x\sin x)$, будет иметь примерно $2n+1$ максимумов и минимумов.
Понятно теперь что если $N\to+\infty$. то все хорошо.

[Capella]

Можно разложить в ряд ( насколько я помню, он у синуса знакопеременный) и показать, что он сходится (или расходится).

добавлено

Прошу прощения, изначально неправильно поняла идею:

Руст писал(а):

Для показа неравномерной непрерывности достаточно показать, что расстояния между последовательными минимумами и максимумами стремися к нулю при больших х.

После прочтения решила, что Руст имел ввиду расстояния между максимумами и минимумами в значениях функций, а не аргумента , потом уже сообразила, что функция всё равно $ sin(\text{что-то}) $ не будет сходиться... Тогда лучше сделать, как ИСН. Показывать через отдельные члены ряда вероятно тоже можно, но менее удобно.

[ИСН]

А неограниченности производной Вам разве мало? Ведь она (производная, I mean) в точках x=n\cdot\pi будет ох какой немаленькой...

[Хет Зиф]

Ну жно построить отрицание: $ \exists \epsilon > 0, \forall \sigma >0: \exists x_{1}, x_{2} : |x_{1}-x_{2}|< \sigma , | f(x_{1})-f(x_{2}) | \epsilon $.

[ИСН]

Спасибо, определение я помню.

[Руст]

ИСН писал(а):

А неограниченности производной Вам разве мало? Ведь она (производная, I mean) в точках x=n\cdot\pi будет ох какой немаленькой...

Неограниченность производной недостаточно, надо показать, что это приводит к некоторой фиксированной разнице значений. Достаточно показать, что

$$f(n\pi +\frac{1}{2n})-f(n\pi )|>\frac 12 ,n \ is \ odd. $$

[Хет Зиф]

вот вот!одной неограниченной производной не хватает!

[ИСН]

Ах да, вот ведь незадача. Она могла быть очень здоровой на очень коротеньком участочке. Но тогда действительно через расстояние между максимумами и минимумами, как Руст сказал.

[Brukvalub]

Если на последовательности отрезков со стремящейся к нулю длиной
модуль производной функции можно оценить снизу растущей с такой же скоростью последовательностью констант,
то после применения т. Лагранжа о конечном приращении получится отрицание определения равномерной непрерывности- подумайте в этом направлении....

[Хет Зиф]

Да да!Я уже давно справился с этой задачей.Я знаю этот способ.Просто тут надо так хитро подобрать точки чтобы легко построить отрицание.