Расположение центра описанной окружности

[Утундрий]

Показаны положения в которых достигается минимальный (точка А) и максимальный углы. Точка А могёт ползать по внешней окружности как угодно, чем исчерпываются все возможные решения.

[Батороев]

e2e4 в сообщении #217784 писал(а):

Я поначалу попробовал решить "в лоб" (не знал формулу, приведенную Edward_Tur про расстояния между центрами окружностей) - ввести Декартовые координаты, привязанные к одной из вершин треугольника, написать уравнение вписанной окружности, центра описанной (через серединные перпендикуляры), приравнять и т.д. На 5-м листе бумаги А4 сдался .
Мне кажется, Ваш способ - примерно то же самое, только записывать надо систему из условий касания прямой и трех дуг окружности, только еще и инверсию сделать надо. Вы довели его до конца?

Аналогичный случай: я тоже сначала попытался решить задачу самостоятельно - планиметрически. Но сумел выяснить только про равнобедренные треугольники.
Путь, который предложил Edward_Tur конечно же более эффективный.
Из формулы Эйлера получаем, что $ \dfrac {r}{R} = \sqrt 2 - 1 $.
В то же время известно, что
$ \dfrac {r}{R} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma - 1 = \sqrt 2 - 1 $

$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \sqrt 2 $ (1)

Если $\alpha = 30^0 $, то задавая $ \beta $ и зная, что $ \gamma = (180^0 - 30^0 - \beta) $, можно рассчитать - возможно ли равенство (1)?

-- Сб май 30, 2009 22:25:59 --

Прикинул. При $\alpha = 30^0$ невозможно.

По моим прикидкам такая возможность впервые появляется только при $ \alpha \approx 31,816068...31,816069^0$.
При этом $ \beta\approx 74,089644...74,089645^0$; $\gamma \approx 74,094286...74,094287^0$.

-- Вс май 31, 2009 00:03:34 --

При использовании формулы Эйлера легко определяется точное значение для случая 2 (см. мой предыдущий пост) при равнобедренном треугольнике :
$ \alpha = 2 \arcsin \frac{2-\sqrt{12-8\sqrt 2}}{4} $

[Утундрий]

Противоречите сами себе:

Батороев в сообщении #217579 писал(а):

При этом третий угол равен $\sim 34^0 04' $.

Это близко к истинному значению

Батороев в сообщении #218375 писал(а):

По моим прикидкам такая возможность впервые появляется только при $ \alpha \approx 31,816068...31,816069^0$.

А вот это не правда.

Как вписанная так и описанная окружности жестко закреплены, свободный параметр в задаче лишь один - положение одной из вершин треугольника на большей окружности. Интересующие нас предельные значения угла есть очевидно тот угол под которым "видна" внутренняя окружность, если смотреть из точки А. Достаточно очевидно где нужно поместить точку А, чтобы расстояние от нее до вписанной окружности было максимальным или минимальным, не так ли? Вот и рассмотрите эти два предельных случая, ибо все прочие будут расположены между ними.

[e2e4]

Свободный параметр 1, степени свободы - 2, так что вполне можно определять либо координатами (двумя) положения вершины треугольника, либо двумя углами треугольника.

[Утундрий]

e2e4 в сообщении #218438 писал(а):

Свободный параметр 1, степени свободы - 2

Так не бывает.

Задав положение одной из вершин на внешней окружности построим две касательные к внутренней окружности и продлим их до пересечения к внешней, после чего останется только соединить две полученные точки отрезком и треугольник построен.

-- Сб май 30, 2009 23:20:32 --

e2e4 в сообщении #218438 писал(а):

определять либо координатами (двумя) положения вершины треугольника, либо двумя углами треугольника.

Координата одна, так как точка расположена на окружности; два угла тоже, соответственно, задать не получится.

[e2e4]

Вы исходите из того, что две окружности уже заданы. Тогда, действительно, координата одна - например, угол между прямой, проходящей через центры окружностей и прямой, проходящей через центр описанной окружности и точку A.
Однако, для данного конкретного угла A (не большего 90 и не меньшего 34 с небольшим градуса) существует множество окружностей (и, соответственно, углов B треугольника), таких, что центр описанной лежит на вписанной.

Таким образом, Ваши две степени свободы - это координата точки в терминах центров окружностей, и сами окружности. Все равно 2 координаты. Я уже боюсь употреблять термин "степень свободы".

[Утундрий]

e2e4 в сообщении #218466 писал(а):

Вы исходите из того, что две окружности уже заданы. Тогда, действительно, координата одна

Совершенно верно. Хотите знать, почему я это делаю? Потому что они таки заданы! Постройте окружность радиуса $1$, отметьте на ней произвольную точку и выберите ее в качестве центра для окружности радиуса $\[\sqrt 2 + 1\]$. Все, окружности зафиксированы, никуда их уже не сдвинешь, можно только повернуть всю конструкцию или гомотопию сделать, но на углах это никак не скажется.

[Батороев]

Утундрий в сообщении #218433 писал(а):

Противоречите сами себе:

Батороев в сообщении #217579 писал(а):

При этом третий угол равен $\sim 34^0 04' $.

Это близко к истинному значению

Батороев в сообщении #218375 писал(а):

По моим прикидкам такая возможность впервые появляется только при $ \alpha \approx 31,816068...31,816069^0$.

А вот это не правда.

Как вписанная так и описанная окружности жестко закреплены, свободный параметр в задаче лишь один - положение одной из вершин треугольника на большей окружности. Интересующие нас предельные значения угла есть очевидно тот угол под которым "видна" внутренняя окружность, если смотреть из точки А. Достаточно очевидно где нужно поместить точку А, чтобы расстояние от нее до вписанной окружности было максимальным или минимальным, не так ли? Вот и рассмотрите эти два предельных случая, ибо все прочие будут расположены между ними.

В чем противоречие?
$ \alpha = 2 \arcsin \frac{2-\sqrt{12-8\sqrt 2}}{4} = 34,062496916446863035282663651336... =34^0 03' 44'' $

Уравнение (1):
$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \sqrt 2 $ (1)
можно переписать:
$ \cos \alpha + \cos \beta - \cos (\alpha + \beta) = \sqrt 2 $
и оно приобретает вид уравнения с двумя переменными $ \alpha $ и $ \beta $.
Отношение радиусов в этом уравнении уже заложено ( в виде $ \sqrt 2 - 1 $).

-- Вс май 31, 2009 14:00:44 --

По-видимому, Вас смутило то, что я в первом посте обозначил через $ \alpha $ угол при основании, а в последнем посте - третий угол? Прошу прощения - был невнимателен к своим же обозначениям.

[e2e4]

Утундрий писал(а):

Совершенно верно. Хотите знать, почему я это делаю? Потому что они таки заданы! Постройте окружность радиуса , отметьте на ней произвольную точку и выберите ее в качестве центра для окружности радиуса . Все, окружности зафиксированы, никуда их уже не сдвинешь, можно только повернуть всю конструкцию или гомотопию сделать, но на углах это никак не скажется.

Да, чего-то я тупил. Конечно, свободный параметр только 1.

[Утундрий]

Батороев, насторожил меня этот угол в $31$ с хвостиком - он же меньше минимально допустимого. А то, что предельные углы у нас одинаковые получились - просто не заметил. Очень уж хитровывернутое выражение $\[\frac{{2 - \sqrt {12 - 8\sqrt 2 } }}{4}\]$, не сходу в нем узнаешь гораздо более простое $\[1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]$ мгновенно следующее из второго предельного треугольника на рисунке (энто тама, где точечка А намалевана).

[Батороев]

Запишем $ F(\beta) = \cos \beta - cos (\beta + \alpha) + \cos \alpha - \sqrt 2 $

В данном случае, $\alpha $ - параметр.
При не любом параметре выполняется $ F(\beta) = 0 $.
В частности, при $ \alpha = 30^0 $
$ F(\beta) < 0 $.

И только при $\alpha > 31, 816068^0 $
у $ F (\beta) $ появляются положительные значения.
А это при условии, что данная функция непрерывна, говорит о том, что существует, как минимум, один аргумент $ \beta $, при котором $ F(\beta) = 0 $.
Соответственно, существует и треугольник с заданными свойствами.

При параметре $ \alpha = 2arccos (1-\dfrac{1}{\sqrt 2}) $, график функции пересекает нулевую линию в точке, отличной от той, в которой $ \beta = \gamma $ (но в этой точке функция также имеет нулевое значение). Это говорит о том, что при указанном параметре существуют, минимум, два треугольника с заданными свойствами.

[Утундрий]

Простите, не могу согласиться. Этого попросту не может быть по построению.

[e2e4]

И я не согласен. Постройте графики функции $ F(\beta) = \cos \beta - cos (\beta + \alpha) + \cos \alpha - \sqrt 2 $ при $\alpha = 31, 816068^0$ и даже при $\alpha = 32^0$, и увидите, что она всегда меньше нуля.

[Батороев]

Хотел проверить свои прежние расчеты, но они не сохранились.
По-видимому, в них была ошибка.