2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство в треугольнике
Сообщение29.05.2009, 19:42 
Условие:
Докажите, что для любого треугольника $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{36}{35}(p^2 + \frac{abc}{p})$, где $p$ - полупериметр.

Первое, что пришло на ум $a^2+b^2+c^2 = 4p^2 -2(ab+bc+ac)$

$2p^2-(ab+bc+ac) \ge \frac{18}{35}(\frac{p^3+abc}{p})$
$\frac{52p^3-18abc}{35p} \ge ab+bc+ac$

Как поступать далее, не совсем понятно. Есть, правда, идея использовать $S = \frac{abc}{4R}$ и $S=pr$
$ ab+bc+ac$ можно еще представить в виде $ \frac{4p^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение29.05.2009, 20:54 
$a^2+b^2+c^2\ge(a+b+c)^2/3=4p^2/3$, $abc\le((a+b+c)/3)^3=8p^3/27$.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.05.2009, 11:18 
Полосин в сообщении #218208 писал(а):
$a^2+b^2+c^2\ge(a+b+c)^2/3=4p^2/3$, $abc\le((a+b+c)/3)^3=8p^3/27$.


Разъясните пожалуйста, откуда тройка взялась в вашем первом неравенстве.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.05.2009, 14:28 
Аватара пользователя
Левая часть неравенства $3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2\ge 0$ после раскрытия скобок у меня получилась забавной и явно неотрицательной. А у Вас?

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.05.2009, 15:12 
Я решаю более геометрическим способом. Что касается приведенного вами неравенства, то его левая часть неотрицательна, как вы и написали. Но как это может помочь при решении?

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.05.2009, 15:19 
Аватара пользователя
Я лишь попытался ответить на конкретный Ваш вопрос:
skalgar в сообщении #218291 писал(а):
Разъясните пожалуйста, откуда тройка взялась в вашем первом неравенстве.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.05.2009, 22:43 
skalgar в сообщении #218184 писал(а):
Условие:
Докажите, что для любого треугольника $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{36}{35}(p^2 + \frac{abc}{p})$, где $p$ - полупериметр.

Первое, что пришло на ум $a^2+b^2+c^2 = 4p^2 -2(ab+bc+ac)$

$2p^2-(ab+bc+ac) \ge \frac{18}{35}(\frac{p^3+abc}{p})$
$\frac{52p^3-18abc}{35p} \ge ab+bc+ac$

Как поступать далее, не совсем понятно. Есть, правда, идея использовать $S = \frac{abc}{4R}$ и $S=pr$
$ ab+bc+ac$ можно еще представить в виде $ \frac{4p^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

Данное неравенство равносильно следующему:
$\[\frac{{4\left( {a + b + c} \right)\left( {a^2  + b^2  + c^2 } \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)^3  + 8abc}} \geqslant \frac{{36}}{{35}}\]$

Для оценки левой части воспользуйтесь неравенствами, которые указал Полосин!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group