компактность

[g-a-m-m-a]

Такс со слабой компактностью шара в $L_p$ разобралась (Люстерник, Соболев "Элементы функционального анализа").
А вот вопрос про его слабую компактность в $L_\infty$ остается открытым

-- Пт май 29, 2009 20:54:57 --

[Brukvalub]

Известна теорема: Банахово пространство рефлексивно если и только если его замкнутый единичный шар слабо компактен.
Известно, что пространство $L_\infty$ - не рефлексивно.
Вывод сделайте сами.

[g-a-m-m-a]

Тогда такой вопрос: будет ли множество компактным

$$X=\left\{\int\limits_{t_0}^{t_1}h(\tau)u(\tau)d\tau|\,\left\|u(\cdot)}\|_{L_\infty[t_0,\,t_1]}\leqslant\mu\right.\right\},$$

где $\,h\in\mathbb C[t_0,\,t_1]$--некоторая фиксированная функция?

[Dan B-Yallay]

В каком пространстве вы это множество X рассматриваете?

[terminator-II]

не хотелось бы что б столь приятная беседа так тривиально закончилась. а как насчет привести пример ограниченной последовательности в $L^\infty[a,b]$ которая не содержала бы слабо сходящуюся подпоследовательность

[Brukvalub]

terminator-II в сообщении #218211 писал(а):

а как насчет привести пример ограниченной последовательности в $L^\infty[a,b]$ которая не содержала бы слабо сходящуюся подпоследовательность

Это пусть Данфорд со Шварцем приводят....
Я у них в таблице из 1-го тома вычитал, что $L^\infty[a,b]$ нерефлексивно, только доказательство сего факта там вовсе не на примере основано.

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #218221 писал(а):

terminator-II в сообщении #218211 писал(а):

а как насчет привести пример ограниченной последовательности в $L^\infty[a,b]$ которая не содержала бы слабо сходящуюся подпоследовательность

Это пусть Данфорд со Шварцем приводят....
Я у них в таблице из 1-го тома вычитал, что $L^\infty[a,b]$ нерефлексивно, только доказательство сего факта там вовсе не на примере основано.

это понятно. только мне этот вопрос праздным не кажется. я думаю, что это очень сложная задача