Преобразовать уравнение к полярным координатам

[ozhigin]

Преобразовать уравнение к полярным координатам,полагая $x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$

$x^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2xy\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$

и вот не пойму, что делать, видимо сначала необходимо преобразовать как-то ,но не к полярным..

[Brukvalub]

ozhigin в сообщении #217811 писал(а):

,полfгая $x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$

$x^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2xy\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$

и вот не пойму, что делать

И никто, кроме штатных экстрасенсов, не поймет

-- Чт май 28, 2009 16:46:23 --

Возможно, Вам как-нибудь удастся воспользоваться тем случайным фактом, что рассматриваемый оператор символьно является квадратом оператора первого порядка. Традиционно же такие операторы переписываются в новой системе координат безо всякого их предварительного изменения.

[ozhigin]

а по конкретнее можно?

[Brukvalub]

Да я, как выяснилось, сам ничего в этих закорючках не смыслю. Ждите более знающих людей....

[matan]

Вам нужно перейти от функции $\[ u(x,y) \]$ к функции$ \[ w(r,\varphi ) \] $. Для этого запишем равенство $\[ u(x,y) = w(r,\varphi ) \] $, сделаем замену $x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$
Получаем $\[ u(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) = w(r,\varphi ) \]$.Затем продиферинцируем $ \[ w(r,\varphi ) \]$ по $ r$ и $\[ \varphi \]$. Получаем два равенства:
$\[ \frac{{\partial w}} {{\partial r}} = \frac{{\partial u}} {{\partial x}}*\frac{{\partial x}} {{\partial r}} + \frac{{\partial u}} {{\partial y}}*\frac{{\partial u}} {{\partial r}} \] $ и $\[ \frac{{\partial w}} {{\partial \varphi }} = \frac{{\partial u}} {{\partial x}}*\frac{{\partial x}} {{\partial \varphi }} + \frac{{\partial u}} {{\partial y}}*\frac{{\partial u}} {{\partial \varphi }} \]$ из которых находим выражения для$ \[ \frac{{\partial u}} {{\partial x}} \]$ и $\[ \frac{{\partial u}} {{\partial y}} \] $.
Что делать дальше ,я думаю, понятно

[ozhigin]

Но $r$ же тоже от $\phi$ зависит

[Brukvalub]

ozhigin в сообщении #218120 писал(а):

Но $r$ же тоже от $\phi$ зависит

Разве?

[matan]

ozhigin в сообщении #218120 писал(а):

Но $r$ же тоже от $\phi$ зависит

$r$ и $\phi$ независимые переменные. Иначе в чем смысл такой замены

[Утундрий]

Якобианы, якобианы и еще раз якобианы... А именно:

$$\[ \frac{{\partial f(x,y)}} {{\partial x}} = \frac{{\partial (f,y)}} {{\partial (x,y)}} = \frac{{\partial (r,\varphi )}} {{\partial (x,y)}} \cdot \frac{{\partial (f,y)}} {{\partial (r,\varphi )}} = \frac{1} {{\frac{{\partial (x,y)}} {{\partial (r,\varphi )}}}} \cdot \frac{{\partial (f,y)}} {{\partial (r,\varphi )}}=... \]$$

ну и так далее...

[ozhigin]

ЕРУНДА КАКАЯ-ТО, НИЧЕГО НЕ ПОНИМАЮ!

[Утундрий]

Ну уж сразу и ерунда. Скажите честнее - незнакомый термин )

Такс... Переборю в себе желание отослать к гугелю и открою,пожалуй, ВЕЛИКУЮ ТАЙНУ ГЕРР ЯКОБИ:

$$\[\frac{{\partial \left( {a,b} \right)}}{{\partial \left( {x,y} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\partial a}}{{\partial x}}} & {\frac{{\partial a}}{{\partial y}}} \\ {\frac{{\partial b}} {{\partial x}}} & {\frac{{\partial b}}{{\partial y}}} \\ \end{array} } \right|\]$$

[ИСН]

Не бойтесь, ozhigin, я тоже в этих якобианах ни черта не смыслю, а вот живу как-то, и ничего. Не понимаете - делайте как сказал matan, там-то ошибиться просто негде.

[Утундрий]

ИСН, я тоже ни четра не смыслил, пока не наткнулся на них в гидродинамике ЛЛ. Поверьте на слово - архиполезнейшая штуковина. Отого и советую.

[ozhigin]

нет Якобиан я знаю что такое, но его применял только в экстремумах