Интегрируемость максимума двух интегрируемых функций

[ellipse]

f,g - интегрируемы на [a;b] по Риману. Как доказать, что h=max{f,g} - также интегрируема на [a;b]?

Пробовал оценить колебание функции h на отрезке разбиения.
Очевидно w(h) <= max{f,g}-min{f,g}.
Легче не стало

Есть идея разбивать интегральную сумму на две: в одной отрезки на которых h=f<g, во вторую где h=g>=f. Как быть с отрезками, в которых есть точки обоих видов? Всегда ли можно сделать такое разбиение, чтобы таких точек не было?

AKM:

ellipse,
по-моему, Вы уже освоили написание формул на форуме.

[ewert]

$\max\{f,g\}=\max\{f-g,0\}+g.$ Т.е., собственно, надо доказать: если функция $\varphi(x)$ интегрируема, то и её положительная часть $\max\{\varphi(x),0\}$ тоже интегрируема. А сколько у этой положительной части может быть разрывов?...

[Brukvalub]

А еше $\max \left\{ {f\;;\;g} \right\} = \frac{1}{2}(f + g + \left| {f - g} \right|)$, а уж тут и вовсе все очевидно.

[ewert]

Хм. Это правда, конечно; только на что мы ссылаемся, утверждая интегрируемость $|\varphi(x)|$?

[Brukvalub]

ewert в сообщении #217742 писал(а):

на что мы ссылаемся, утверждая интегрируемость $|\varphi(x)|$

На теорему о том, что модуль интегрируемой функции - интегрируем, которая мгновенно следует из критерия интегрируемости дедушки Дарбу, поскольку модуль не увеличивает колебания. А если есть дедушка Лебег, то жить вообще становится скучно и неинтересно...

[ellipse]

$|f|+|g|\leqslant h\leqslant -(|f|+|g|)$
поэтому колебание $w(h)\leqslant 2(|f|+|g|)$
Далее используя теорему об интегрируемости модуля оцениваем оцениваем сверху интегральную сумму колебаний $h$ соответсвующей суммой интегрируемой функции $2(|f|+|g|)$. Так будет правильно?

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #217801 писал(а):

$|f|+|g|\leqslant h\leqslant -(|f|+|g|)$
поэтому колебание $w(h)\leqslant 2(|f|+|g|)$
Далее используя теорему об интегрируемости модуля оцениваем оцениваем сверху интегральную сумму колебаний $h$ соответсвующей суммой интегрируемой функции $2(|f|+|g|)$. Так будет правильно?

Бред какой-то...

[ellipse]

Brukvalub писал(а):

Бред какой-то...

Почему бред?

достаточное условие интегрируемости
$\sum \omega(h; \Delta_i) \Delta x_i \to 0$

$\sum \omega(h; \Delta_i) \Delta x_i \leqslant \sum \omega(2(|f|+|g|); \Delta_i) \Delta x_i$

а последняя сумма $\to 0$ ввиду интегрируемости $2(|f|+|g|)$

[Brukvalub]

Этак Вы, пожалуй, сейчас легко и непринужденно докажите интегрируемость всех ограниченных функций, ведь все ограниченные функции зажаты между двух констант, а уж константа-то интегрируема

[ellipse]

Brukvalub в сообщении #217814 писал(а):

Этак Вы, пожалуй, сейчас легко и непринужденно докажите интегрируемость всех ограниченных функций, ведь все ограниченные функции зажаты между двух констант, а уж константа-то интегрируема

Не функция зажата, а колебание функции не превосходит колебание интегрируемой функции. Оценивается не функция, а колебание функции.

Подобным образом т.е. оценкой колебания доказывается интегрируемость модуля интегрируемой ф-ии.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #217839 писал(а):

Не функция зажата, а колебание функции не превосходит колебание интегрируемой функции.

Напишите поподробнее, потому что вот это:

ellipse в сообщении #217801 писал(а):

$|f|+|g|\leqslant h\leqslant -(|f|+|g|)$
поэтому колебание $w(h)\leqslant 2(|f|+|g|)$
Далее используя теорему об интегрируемости модуля оцениваем оцениваем сверху интегральную сумму колебаний $h$ соответсвующей суммой интегрируемой функции $2(|f|+|g|)$.

- бред.

[ellipse]

Brukvalub, вот с этим согласны?
$-(|f|+|g|)\leqslant h=max(f,g)\leqslant |f|+|g|$

А вот с этим?
колебание $\omega(h, E) \leqslant \omega(2(|f|+|g|), E)$ где $E\subset R$

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #217925 писал(а):

Brukvalub, вот с этим согласны?
$-(|f|+|g|)\leqslant h=max(f,g)\leqslant |f|+|g|$

Согласен.

ellipse в сообщении #217925 писал(а):

А вот с этим
колебание $\omega(h, E) \leqslant \omega(2(|f|+|g|), E)$ где $E\subset R$

Несогласен.