сходимость функциональной последовательности к непрерывной ф

[staser]

К какой непрерывной функции сходится функциональная последовательность x_n(t) = t^n (рассматриваем на отрезке [0,1] )
при метрике: расстояние от x_n(t) до x_m(t) задаётся по формуле:

$$\int_{0}^{1} (x_n(t) - x_m(t)) dt$$

[PAV]

Написанное выражение для расстояния не является метрикой.

Если рассмотреть стандартную метрику $L^1$ на [0,1] (т.е. поставить выражение под знаком интеграла под модуль), то сходимость к тождественному нулю.

[Dan_Te]

В L_1 не очень корректно говорить о непрерывных функциях, на мой взгляд, потому что это пространство классов эквивалентных функций.

[dm]

Dan_Te писал(а):

В L_1 не очень корректно говорить о непрерывных функциях, на мой взгляд, потому что это пространство классов эквивалентных функций.

Непрерывная функция является единственным непрерывным представителем своего класса эквивалентности. Поэтому с очевидными оговорками так говорить можно (вместо того, чтобы говорить о классе эквивалентности данной непрерывной функции).

[Гость]

PAV писал(а):

Написанное выражение для расстояния не является метрикой.

Если рассмотреть стандартную метрику $L^1$ на [0,1] (т.е. поставить выражение под знаком интеграла под модуль), то сходимость к тождественному нулю.

а что если эта функция тождественно равна нулю значит и в точке х=1 принимает значение нуль, хотя все члены последовательности t^n в этой точке принимали значение 1, может нет такой непрерывной функции к которой сходилась бы эта последовательность?

[Dan_Te]

Сходимость функций сама по себе не бывает, она должна быть в какой-нибудь топологии или метрике.
В равномерной метрике указанная последовательность имеет пределом функцию f(x), равную единице в точке один и нулю в остальных точках. Функция f(x) разрывна.
В метрике L1 (видимо, спрашивают именно про нее) пределом такой последовательности будет класс функций, эквивалентных (почти всюду равных) f(x). В этом классе мы можем выбрать в качестве представителя не обязательно f(x), но любую другую функцию, например, тождественный ноль.
Таким образом, с натяжками и оговорками (даже то, что я сказал, не до конца верно =))) можно говорить, что есть сходимость к непрерывной функции тождественный ноль.

[dm]

Dan_Te писал(а):

В равномерной метрике указанная последовательность имеет пределом функцию f(x), равную единице в точке один и нулю в остальных точках. Функция f(x) разрывна.

Э-э-э... Наверно, ты хотел сказать, в топологии поточечной сходимости. В равномерной метрике эта последовательность не имеет предела.

[Dan_Te]

э-э... ну да.

[staser]

Мой препод спросил к какой непрерывной функции эта функц-ая посл-ть t^n будет сходиться в среднем. В смысле метрики (указанной выше - с интегралом и модулем вместо круглых скобок). И что такое сходимость в среднем вообще?[/b]

[Trueman]

Dan_Te писал(а):

Сходимость функций сама по себе не бывает, она должна быть в какой-нибудь топологии или метрике.
....
В метрике L1 (видимо, спрашивают именно про нее) пределом такой последовательности будет класс функций, эквивалентных (почти всюду равных) f(x).
...
Таким образом, с натяжками и оговорками (даже то, что я сказал, не до конца верно =))) можно говорить, что есть сходимость к непрерывной функции тождественный ноль.

ну понятно, что понятие сходимость опирается на понятие окрестности или расстояния, об этом я догадывался=)), я имел ввиду, что сходимость числовых рядов получаемых из функционального для каждого значения переменной t, обеспечивает сходимость всмысле указанной метрики. А вопрос сходимости к непрерывной функции понимаю, как к какому элементу из С[0;1], сходится данный функциональный ряд, если же имеется ввиду к какой непрерывной из класса эквивалентных, то тогда действительно, ответ очевиден =)), f(x) тождественно равно 0, но в этом контексте, вопрос мне кажется тогда, звучит как то странно.[/list]

[dm]

staser писал(а):

В смысле метрики (указанной выше - с интегралом и модулем вместо круглых скобок). И что такое сходимость в среднем вообще?

Сходимость в смысле этой самой интегральной метрики.

Dan_Te писал(а):

В L_1 не очень корректно говорить о непрерывных функциях, на мой взгляд, потому что это пространство классов эквивалентных функций.

Вообще-то, похоже, что в этой задаче идет речь не о пространстве $(L_1[0,1],\int_0^1\lvert\cdot_1(t)-\cdot_2(t)\rvert\mathrm{d}t)$, а о неполном пространстве $(C[0,1],\int_0^1\lvert\cdot_1(t)-\cdot_2(t)\rvert\mathrm{d}t)$. Так что тем более корректно.

Trueman писал(а):

А вопрос сходимости к непрерывной функции понимаю, как к какому элементу из С[0;1], сходится данный функциональный ряд, если же имеется ввиду к какой непрерывной из класса эквивалентных, то тогда действительно, ответ очевиден

Ответ очевиден в обоих случаях. 8)

[dm]

Trueman писал(а):

я имел ввиду, что сходимость числовых рядов получаемых из функционального для каждого значения переменной t, обеспечивает сходимость всмысле указанной метрики.

В теореме Лебега о мажорированной сходимости идет речь о сходимости подынтегральных функций почти всюду, а не всюду.