Алгебра. Векторные пространства. Доказать...

[SMiV]

Не знает ли кто-нибудь как из $|a\cdot b|=\sqrt{a\cdot a}\cdot\sqrt{b\cdot b}$ вывести то, что a и b линейно зависимы?$(\forall векторов a,b), вроде говорят легко...$

[Someone]

SMiV писал(а):

Не знает ли кто-нибудь как из $|a\cdot b|=\sqrt{a\cdot a}\cdot\sqrt{b\cdot b}$ вывести то, что a и b линейно зависимы?$(\forall векторов a,b), вроде говорят легко...$

Рассмотрите неравенство $(\lambda\vec a+\vec b)\cdot(\lambda\vec a+\vec b)\geqslant 0$, которое выполняется при всех $\lambda$.

[Руст]

Имеется много способов. 1. сосинус угла равен 1.
2. Обозначим отношение s=|b|/|a|(если |a|=0 линейная зависимость очевидна). Тогда 4sa*b=(b+sa)^2-(b-sa)^2=4s^2a^2. Учитывая, что |b+sa|<=2s|a|, получаем |b-sa|=0, т.е. b=sa.

[SMiV]

Никак не могу сообразить откуда взялось 4sa*b=....

[Руст]

Раскрывайте скобки (b+sa)(b+sa)-(b-sa)(b-sa)=b^2+2sa*b+s^2a^2-b^2+2sa*b-s^2a^2=4sa*b.

[SMiV]

Руст писал(а):

(b+sa)(b+sa)-(b-sa)(b-sa)=b^2+2sa*b+s^2a^2-b^2+2sa*b-s^2a^2=4sa*b.

в этом я разобрался..., а вот откуда

Руст писал(а):

Тогда 4sa*b=(b+sa)^2-(b-sa)^2=4s^2a^2.

и почему

Руст писал(а):

s=|b|/|a|

И как это получить из условия?
P.S. а если пространство n-мерное, то как мы используем косинус?.

[Werwolf]

$(\lambda \vec a + \vec b)(\lambda \vec a + \vec b) = \lambda^2 \vec a^2 + 2\lambda \vec a \vec b+ \vec b^2 \geqslant 0$
Поэтому $D_1 = (\vec a \vec b)^2 - \vec a ^2 * \vec b ^2 \leqslant 0, (\vec a \vec b)^2 \leqslant \vec a ^2 * \vec b ^2$
Если =, то существует $\lambda_0, что (\lambda_0 \vec a + \vec b)(\lambda_0 \vec a + \vec b) = 0, то есть \lambda_0 \vec a + \vec b = \vec 0, \vec b = - \lambda_0 \vec a$
s=|b|/|a| не из условия, а для решения. Косинус в n-мерном пространстве достаточно абстрактен, но имеет некоторые свойства, которые можно использовать.

[SMiV]

Всё, разобрался! Большое спасибо всем откликнувшимся!!!