R-эффективность

[grakchus]

Пусть $F$ --- распределение с нулевым средним значением и плотностью $f(y).$ Пусть $f(y)$ --- дифференцируемая четная функция. Рассматривается распределение $F_{\theta}$ с плотностью $f(y-\theta),\theta\in\mathbb{R}$ Доказать, что выборочная медиана не можеть быть R-эффективной оценкой параметра сдвига $\theta.$

Теор.минимум:
Медианой $\xi$ непрерывного распределения называется решение уравнения $F(\xi)=1/2.$
Оценка $\theta^{*}_{n}$ называется R-эффективной в классе оценок со смещением $b_{n}(\theta)={\bf E}\theta_{n}^{\ast}-\theta$, если в следующем неравенстве Рао-Крамера достигается равенство

$$ {\bf E}_{\theta}(\theta_{n}^{\ast}-\theta)^{2}\geqslant \frac{(1+b'_{n}(\theta))^2}{nI(\theta)}+b^{2}_{n}(\theta). $$

Информация Фишера $I(\theta)={\bf E}\left(\frac{\partial \ln f_{\theta}(X_1)}{\partial\theta}\right)^{2}.$
Здесь $X_{1},X_{2},\ldots$ --- выборка из распределения с плотностью $f_{\theta}$, а $\theta_{n}^{*}$ --- оценка параметра $\theta$.

Вопрос по условию задачи.

Фраза "с нулевым средним значением" что означает? Тот факт, что

$$ \lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int\limits_{-T}^{T}F(t)\,dt=0 $$

или что-то другое?

С чего начинать решение в этой задаче? К примеру, возможно ли посчитать смещение выборочной медианы?

[Юстас]

Посмотрите доказательство неравенства Рао-Крамера - само "неравенство" возникает после применения неравенства Коши-Буняковского. Соответсвенно, можно точно сказать когда оно превращается в равенство. Отсюда и плясать.

[Хорхе]

grakchus в сообщении #217118 писал(а):

Фраза "с нулевым средним значением" что означает? Тот факт, что
... или что-то другое?

Что-то другое. "Среднее" = "математическое ожидание". Тут даже в некоем смысле большее
утверждается:

Цитата:

Пусть $f(y)$ --- дифференцируемая четная функция.

Поэтому ответ на

Цитата:

возможно ли посчитать смещение выборочной медианы?

да, можно.

[grakchus]

Под выборочной медианой $m^{*}$ понимается статистика $X_{(k)},$ если $n=2k-1$,
и $(X_{(k)}+X_{(k+1)})/2,$ если $n=2k.$

В общем, я так понимаю, что смещение выборочной медианы будет 0. То есть надо доказать, что ${\bf D}m^{*}>\frac{1}{nI(\theta)}$. Вот тут-то и проблема.

[grakchus]

В общем, я пришел к тому, что надо доказать неравенство

$$ 2\left(\int\limits_{0}^{\infty}f'(t)\,dt\right)^{2}>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(f'(t))^2}{f(t)}\,dt, $$

где функция $f$ --- дифференцируемая четная неотрицательная функция с интегралом, взятым по всей вещественной прямой, равным 1.

С помощью чего это можно доказать?

[Brukvalub]

А есть уверенность, что такие интегралы - сходятся?

[grakchus]

Ну, интеграл слева --- это просто по-другому записанное $f(0),$ а интеграл справа --- это половина информации Фишера

[Brukvalub]

grakchus в сообщении #217339 писал(а):

Ну, интеграл слева --- это просто по-другому записанное $f(0),$ а интеграл справа --- это половина информации Фишера

Вы спрашивали несколько иное:

grakchus в сообщении #217334 писал(а):

В общем, я пришел к тому, что надо доказать неравенство

$$ 2\left(\int\limits_{0}^{\infty}f'(t)\,dt\right)^{2}>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(f'(t))^2}{f(t)}\,dt, $$

где функция $f$ --- дифференцируемая четная неотрицательная функция с интегралом, взятым по всей вещественной прямой, равным 1.

[Юстас]

Эффективные оценки существуют только в экспоненциальных семействах:T эффективна iff $p_{\theta}(x)=p_{\theta_0}(x)exp(A(\theta)T(x)+B(\theta))$. Следует это непосредственно из доказательства неравенства Рао-Крамера.

[grakchus]

А как можно узнать, что данное семейство плотностей не является экспоненциальным? Ведь мне нужно показать неэффективность. Но если честно, я вообще не вижу, как можно показать, что семейство $f_{\theta}$ не является экспоненциальным. Оно ж ведь слишком произвольное.