квазисобственное подпространство

[Ryabsky]

Пусть $\varphi$ - линейное преобразование вещественного линейного пространства, $\lambda, \bar{\lambda},$ - пара комплексно сопряженных корней его характеристического многочлена, $p=-(\lambda+\bar{\lambda}), ~~q=\lambda \bar{\lambda}$. Доказать, что квазисобственное подпространство $\ker(\varphi^2 + p\varphi + q\epsilon)$ - ненулевое и инвариантно относительно $\varphi$.

Правильно ли я понимаю, что надо копаться в терминологии аннулирующих многочленов? если можно, подкиньте мыслишку?

[Хорхе]

То, что ненулевое, очевидно (подсказка: нетривиальность ядра можно выразить в других терминах).

-- Вт май 26, 2009 22:57:14 --

Ну а инвариантность еще проще! Там можно любой многочлен от $\varphi$ написать. Просто не ленитесь писать определение.

[Voodoo Man]

Ryabsky
Возможно я и неправ; но думаю, что для доказательства инвариантности стоит воспользоваться тем, в каких отношениях находятся линейное преобразование и многочлен от него; для доказательства того, что ядро ненулевое, наверное стоит попробовать использовать рассуждения, похожие на те, что проводятся при комплексификации/декомплексификации линейного преобразования.

[Ryabsky]

Для инвариантности доказал:

обозначим $\psi=\varphi^2 + p\varphi + q\epsilon$.
Очевидно, что $\psi\varphi = \varphi\psi$.
Тогда для любого $x \in \ker(\psi)$ будет справедливо:
$\varphi(\psi(x)) = \varphi(0) = 0$
а значит и
$\psi(\varphi(x)) = 0$
что доказывает инвариантность подпространства $\ker(\psi)$.

то, что это п/пр-во ненулевое, доказать не очень получается...

[ewert]

Ryabsky в сообщении #218751 писал(а):

то, что это п/пр-во ненулевое, доказать не очень получается...

Возьмите собственный вектор для $\lambda$, тогда комплексно сопряжённый к нему будет собственным для $\overline\lambda$. А сумма этих векторов -- что про неё можно сказать?...

Ну или совсем по рабоче-крестьянски. Собственно, нужно доказать вырожденность матрицы этого оператора. Но если уж определитель этой матрицы равен нулю относительно соответствующего комплексного пространства, то он просто равен нулю -- и всё тут.