Расположение центра описанной окружности

[Бонифаций]

На многопрофильной олимпиаде ГУ-ВШЭ была задача: Существует ли треугольник с углом 30 градусов такой, что центр его описанной окружности лежит на вписанной окружности.
Мой вопрос такой: для каких треугольников центр описанной окружности лежит на вписанной?

[Edward_Tur]

$d^2=R^2-2Rr=r^2$

[e2e4]

Соображения по задаче:
1. Очевидно, что треугольник - не тупоугольный и не вырожденный.
2. Если для некоторого треугольника выполняется условие задачи, то оно выполняется и для всех подобных ему треугольников, а, значит, указанное свойство зависит только от соотношения углов треугольника. Так как третий угол у треугольника всегда зависим от двух других, то ровно два угла однозначно определяют искомое свойство.
3. Среди всех прямоугольных и равнобедренных треугольников существует только один с искомым свойством, а именно треугольник с углами 90, 45, 45 градусов, т.е. одновременно и прямоугольний, и равнобедренный.

Теперь, используя мысль Edward_Tur, найдем соотношение радиусов вписанной и описанной окружности: $R = r(1+\sqrt {2})$ (очевидно, что второй корень квадратного уравнения дает отрицательную величину радиуса описанной окружности).
Используя формулу $r = 4R\sin{\frac \alpha 2}\sin{\frac \beta 2}\sin{\frac \gamma 2}$, находим, что для треугольника с искомым свойство должно выплняться следующее условие:
$\sin{\frac \alpha 2}\sin{\frac \beta 2}\sin{\frac \gamma 2} = \frac 1 {4(1+\sqrt {2})}$ или
$\sin{\frac \alpha 2}\sin{\frac \beta 2}\cos{\frac {\alpha + \beta} 2} = \frac 1 {4(1+\sqrt {2})}$

Получить функциональную зависимость $\alpha = f(\beta)$ из последнего уравнения MathCAD отказался. Для треугольника с углами 90, 45, 45 градусов соотношение работает, значит все верно.

-- Вт май 26, 2009 16:08:26 --

P. S. Кстати, судя по всему, треугольника с углом 30 градусов, такого, что центр его описанной окружности лежит на вписанной окружности, не существует.

[ИСН]

Существует, конечно, куда он денется. У треугольника (30°,75°,75°) центр описанной окружности явно лежит внутри вписанной, а у (30°,120°,30°) - вне. Где-то между ними...

-- Вт, 2009-05-26, 17:46 --

Чёрт! неужели у обеих вне? Тогда ой.

[e2e4]

Не, точно треугольник с 30 градусами и искомым свойством не существует.
В принципе, последнее выражение можно переписать в виде:
$\cos{\alpha} + \cos{\beta} - cos{(\alpha + \beta)} = \sqrt 2$
Из которого MathCAD уже может выделить $\alpha = f(\beta)$, выражение получается километровым.

Ясно, что таких треугольников бесконечно много, углы лежат в диапазоне где-то чуть более 34 градусов (нашел графически) и до 90 включительно. Если в треугольнике один из углов меньше 34 градусов, центр описанной окружности не может лежать на вписанной окружности.

[Бонифаций]

Ответ про 30 градусов: такого треугольника нет, это показывается из оценки расстояния от центра описанной до центра вписанной окружности.
Про прямоугольный треугольник- очевидно. Но откуда взялся единственный равнобедренный?
Хорошо бы обосновать не графически догадку с 34 градусами и найти этот угол поточнее.

Моя идея- сделать инверсию относительно описанной окружности. Тогда вершины треугольника останутся на месте, стороны перейдут в дуги окружностей, а вписанная окружность в прямую. Соответственно надо изучить варианты, когда прямая может касаться трех пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку, с некоторыми ограничениями

[e2e4]

Цитата:

Но откуда взялся единственный равнобедренный?

Есть некоторые, не до конца проверенные, соображения. Возможно, равнобедренных треугольников и не один, однако думать дальше в этом направлении я не стал.

Цитата:

Хорошо бы обосновать не графически догадку с 34 градусами и найти этот угол поточнее.

Он точно находится из приведенных мной формул, задача техническая.

Цитата:

Моя идея- сделать инверсию относительно описанной окружности. Тогда вершины треугольника останутся на месте, стороны перейдут в дуги окружностей, а вписанная окружность в прямую. Соответственно надо изучить варианты, когда прямая может касаться трех пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку, с некоторыми ограничениями

Эээ... чего? .

[Батороев]

Для равнобедренных треугольников:
Случай 1: $90^0$ - центр описанной окружности расположен на основании треугольника.
Случай 2: Центр описанной окружности расположен на дуге вписанной окружности в точке, диаметрально противоположной случаю 1.

Вот, что у меня получилось.

Обозначим угол при основании $\alpha$.
Основание треугольника $a$.
Боковая сторона $b$.
Радиус описанной окружности $R$.
Радиус вписанной окружности $r$.

$ \sin \alpha =\dfrac{R+2r}{b} $; $ \cos \alpha = \dfrac{a}{2b} $; $ \tg {\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{2r}{a} $

$ \tg \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} $

$ \dfrac{r}{a} = \dfrac{R+2r}{a+2b} $

$ \dfrac{R}{r} + \dfrac{2b}{a} = 1 $

$ 2\cosec {2\alpha}+\cosec{\alpha} = 1 $

Равенство наступает при $ \alpha\approx 72^0 58' $.
При этом третий угол равен $\sim 34^0 04' $.

[Бонифаций]

e2e4 в сообщении #217377 писал(а):

Цитата:

Моя идея- сделать инверсию относительно описанной окружности. Тогда вершины треугольника останутся на месте, стороны перейдут в дуги окружностей, а вписанная окружность в прямую. Соответственно надо изучить варианты, когда прямая может касаться трех пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку, с некоторыми ограничениями

Эээ... чего? .

Предположим, что центр лежит на вписанной окружности, сделаем инверсию относительно этого центра с радиусом R. Лучше самому нарисовать так понятнее, но задача сводится к нахождению случаев, когда прямая может касаться 3-ех окружностей

[e2e4]

Я поначалу попробовал решить "в лоб" (не знал формулу, приведенную Edward_Tur про расстояния между центрами окружностей) - ввести Декартовые координаты, привязанные к одной из вершин треугольника, написать уравнение вписанной окружности, центра описанной (через серединные перпендикуляры), приравнять и т.д. На 5-м листе бумаги А4 сдался .
Мне кажется, Ваш способ - примерно то же самое, только записывать надо систему из условий касания прямой и трех дуг окружности, только еще и инверсию сделать надо. Вы довели его до конца?

[Sasha2]

А если рассуждать так:
Нетрудно видеть, что основанием данного треугольника является хорда, описанной окружности, равная ее радиусу. Такая хорда есть не что иное, как сторона вписанного шестиугольника в описанную окружность. Значит, если такой треугольник есть, их можно даже шесть штук сразу учредить в одной и той же окружности. У всех этих шести окружностей, вписанных в соответствующие треугольники, есть общая точка – центр описанной окружности. Значит, есть еще и другая точка пересечения. Причем обе эти точки лежат внутри одного и того же треугольника (ведь вся вписанная окружность лежит внутри треугольника, в который она вписана) из возможных шести. Или, грубо говоря, все точки пересечения этих шести окружностей, вписанных в соответствующие треугольники, должны принадлежать всем шести треугольникам.
А вот дальше, что-то затрудняюсь продолжить рассуждения. Неужели такая конструкция может существовать?

-- Пт май 29, 2009 12:54:12 --

Теперь проведем прямую через центр описанной окружности и через центр одной из этих шести вписанных окружностей. Эта прямая является общей осью симметрии указанных двух окружностей. Теперь выполним симметрию относительно этой оси. Вписанная окружность перейдет сама в себя а хорда описанной окружности также должна перейти сама в себя (в противном случае, через некоторую точку окружности к этой окружности можно было бы провести более двух касательных, а это не так). Следовательно, указанная ось симметрии перпендикулярна данной хорде. А значит отрезок проходящий через точку касания и центр описанной окружности является диаметром вписанной окружности. И так для всех шести. Но это означает, что центр описанной окружности является точкой касания шести окружностей, а этого уж точно не может быть. Поэтому, такого треугольника не существует.

[mihiv]

Нужно определить область изменения углов $\alpha$ и $\beta$. Пусть $\alpha$ тот из углов, который $\leqslant \frac {\pi}6.$ Треугольник остроугольный, поэтому $\pi-(\alpha+ \beta) \leqslant \frac {\pi}2$. Кроме того $\beta \leqslant \frac{\pi}2$. Таким образом область $D$ изменения углов $\alpha$ и $\beta$ это треугольник, образованный прямыми $\alpha = \frac {\pi}6, \beta = \frac {\pi}2$ и $\alpha + \beta = \frac {\pi}2.$ Найдем максимальное значение функции $F(\alpha, \beta) = \cos(\frac {\alpha + \beta}2) \sin(\frac {\alpha}2) \sin( \frac {\beta}2)$ в области $D$. Внутри области $D$ нет стационарных точек, поэтому максимальное значение достигается на границе области в точке $\alpha = \frac{\pi}6, \beta= \frac{5 \pi}{12}$ и равно примерно 0.096 что $< \frac1{4(1+ \sqrt(2))}$.Так что такого треугольника нет.

[TOTAL]

Против угла в $30^\circ$ лежит сторона, длина которой равна $1.$
Центр описанной окружности отстоит на $\sqrt{3}/2$ от этой стороны.
А центр вписанной окружности расположен не далее чем $\tg(75^\circ /2)/2$ от этой стороны.
Но $\sqrt{3}/2 > \tg(75^\circ /2)$

[Утундрий]

Отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной фиксировано и равно $\[\sqrt 2 + 1\]$. Возможные треугольники вполне определяются углом одной из вершин, который изменяется от $\[90^ \circ \]$ до $\[\alpha _{\min } = 2 \cdot \arcsin \frac{1}{{2 + \sqrt 2 }} \approx {\text{34}}{\text{.062496916446863035282663651336}}^ \circ \]$. Можно, конечно, проследить и все промежуточные случаи, но... откровенно говоря - лень.

[Бонифаций]

Утундрий в сообщении #218191 писал(а):

Возможные треугольники вполне определяются углом одной из вершин, который изменяется от $\[90^ \circ \]$ до $\[\alpha _{\min } = 2 \cdot \arcsin \frac{1}{{2 + \sqrt 2 }}$.

А откуда взялось ограничение на $\[\alpha _{\min } $