интегрирование обобщенных функций

[CowboyHugges]

st256, дык дельта-функция не регулярный функционал.Это можно вывести из леммы дю Буа-Реймона. Как она сама по себе может куда то стремится? Хотя, может я что-то не догоняю Под интеграл её ведь запихнуть не получится, она же сингулярная?

[terminator-II]

st256 в сообщении #216573 писал(а):

Все, что я спросил, если функция определяется вот так:

$ y(x) = \int\limits_{ a }^{ b } \delta ( \tau - t) x( \tau ) d \tau $

про это Вы не спрашивали, странно, что интеграл по [a,b]

st256 в сообщении #216573 писал(а):

то могу я считать этот интеграл берущимся??

нет, потому, что на самом деле это не интеграл, а по-определению это число $x(t)$
интеграл вэтой формуле не более чем символ. к обычному интегралу это отношения не имеет

[ewert]

st256 в сообщении #216573 писал(а):

Все, что я спросил, если функция определяется вот так:

$ y(x) = \int\limits_{ a }^{ b } \delta ( \tau - t) x( \tau ) d \tau $

то могу я считать этот интеграл берущимся??? Ну могу я определив функцию, как показано выше на основании этого определения эту функцию проинтегрировать????

Вот это и называется "бардак в голове". Что определяется "выше" - игрек или дельта-функция? и кого из них потом предполагается интегрировать? или не потом, а сначала?... Ничего не понятно.

Ладно, попробуем подключить телепатию. Вам там хотелось гребёнку из дельта-функций, да? Ну пусть для определённости

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-2\pi k).$$

Формальное разложение на периоде $[-\pi;\pi]$ даёт ряд

$$f(t)={1\over2\pi}+\sum_{k=1}^{\infty}{\cos(kt)\over\pi}.$$

В обычном смысле этот ряд не сходится. Но ведь и дельта функция -- это не обычная функция, а обобщённая. По определению,

$$\int_{-\pi}^{\pi}\delta(t)u(t)dt$$

должен быть равен $u(0)$ для всех гладких функций $u$. Причём то, что обозначено здесь интегралом -- на самом деле никакой не интеграл, а функционал $(\delta,u)$, т.е. некое правило, ставящее в соответствие каждой функции $u$ некоторое число. Он записывается в виде интеграла просто по аналогии с теми функционалами, которые получились бы, если заменить там выражение $\delta(t)$ на обычную функцию.

Так вот, раз уж мы оказались в окружении обобщённых функций, то и сходимость частичных сумм $S_n(t)$ ряда Фурье следует понимать соответствующим образом. Не как поточечную или хотя бы в $L_2$, а в "слабом" смысле -- как сходимость функционалов, порождённых интегрированием частичных сумм этого ряда на произвольных гладких функциях. Т.е. для всех гладких $u(t)$ должно быть

$$(S_n(t),u)\equiv\int_{-\pi}^{\pi}S_n(t)u(t)dt\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\delta(t)u(t)dt\equiv u(0).$$

В этом и только в этом смысле следует понимать сходимость ряда Фурье, и ни в каком другом, раз уж предельная функция предполагается обобщённой. Ну так оно и правда, поскольку

$$S_n(t)={1\over2\pi}+\sum_{k=1}^{n}{\cos(kt)\over\pi}={\sin\left(n+{1\over2}\right)t\over2\pi\sin{t\over2}}$$

-- это ядро Дирихле.

[terminator-II]

ewert в сообщении #216581 писал(а):

Ну пусть для определённости

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-2\pi k).$$

чуть подробней : в этой формуле
рассматриваются обычные дельта функции на $\mathbb{R}$ но сумма является $2\pi$-периодической обобщенной функцией

ewert в сообщении #216581 писал(а):

Т.е. для всех гладких $u(t)$ должно быть

$$(S_n(t),u)\equiv\int_{-\pi}^{\pi}S_n(t)u(t)dt\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\delta(t)u(t)dt\equiv u(0).$$

а разве не только для периодических гладких $u$ ?

[st256]

CowboyHugges в сообщении #216579 писал(а):

st256, дык дельта-функция не регулярный функционал.Это можно вывести из леммы дю Буа-Реймона. Как она сама по себе может куда то стремится? Хотя, может я что-то не догоняю Под интеграл её ведь запихнуть не получится, она же сингулярная?

Сэр, я чувствую себя чуркой с Черкизовского рынка...

Определение дельта-функции такое?
$(u, \delta )=u(0)$

как из него следует, что "под интеграл её ведь запихнуть не получится"?
Низойдите до моего уровня, объясните!...

...ну и так, на всякий случай. Дельта-функция может быть всякая, в том числе и обычный sinc. Его-то наверное можно под интеграл "засунуть"?

-- Вс май 24, 2009 19:17:06 --

terminator-II в сообщении #216580 писал(а):

st256 в сообщении #216573 писал(а):

Все, что я спросил, если функция определяется вот так:

$ y(x) = \int\limits_{ a }^{ b } \delta ( \tau - t) x( \tau ) d \tau $

про это Вы не спрашивали, странно, что интеграл по [a,b]

Почему странно? Это из Вашего же определения и следует...

terminator-II в сообщении #216580 писал(а):

st256 в сообщении #216573 писал(а):

то могу я считать этот интеграл берущимся??

нет, потому, что на самом деле это не интеграл, а по-определению это число $x(t)$
интеграл вэтой формуле не более чем символ. к обычному интегралу это отношения не имеет

Мда... Определенный интеграл это не число. И скалярным произведением быть по сему не может. Даже если он и есть скалярное произведение... Вы сами себя понимаете?... Везет...

...А может Вы отказываетесть от Вашего определения дельта-функции, а?

[ewert]

st256 в сообщении #216715 писал(а):

И скалярным произведением быть по сему не может. Даже если он и есть скалярное произведение...

Он не есть скалярное произведение. Он есть функционал. Безусловно, любое скалярное произведение -- это функционал, но обратное неверно.

[st256]

ewert в сообщении #216581 писал(а):

Вот это и называется "бардак в голове". Что определяется "выше" - игрек или дельта-функция? и кого из них потом предполагается интегрировать? или не потом, а сначала?... Ничего не понятно.

Согласен. я ошибся. Не игрек а икс:
$x(t)=\int\limits_{a}^{b} \delta (t- \tau ) x( \tau) d \tau $

Ну и а и b находятся пусть по разные стороны от нуля. Так, чтоб не придирались... Бесконечности пока рисовать не хочу... Единственно, хочу добавить, что дельта-функция определяется из этого соотношения. Так в учебниках пишут...

Цитата:

В обычном смысле этот ряд не сходится.

он вообще никак не сходится... Ни в обычном, ни в среднеквадратичном. Вообще никак...

Цитата:

Но ведь и дельта функция -- это не обычная функция, а обобщённая. По определению,

И как из определения, данного мною выше, следует, что эта функция обобщенная? Ну не скрывайте от меня эту жизненно важную информацию!!!

Цитата:

Причём то, что обозначено здесь интегралом -- на самом деле никакой не интеграл

Нет, я не чурка, я попугай... И как из определения, данного мною выше, следует, что то, что обозначено здесь интегралом -- на самом деле никакой не интеграл?

Цитата:

Так вот, раз уж мы оказались в окружении обобщённых функций

Простите, а в какой момент мы оказались в окружении? Я его не заметил...

-- Вс май 24, 2009 19:34:11 --

ewert в сообщении #216723 писал(а):

Он не есть скалярное произведение.

О! Что-то новенькое... Значит Вы отказываетесь, от определения дельта-функции, которое есть в любом учебнике по математике? Я, кстати, почти не иронизирую. Я сам в этих определениях запутался.

[ewert]

st256 в сообщении #216724 писал(а):

он вообще никак не сходится... Ни в обычном, ни в среднеквадратичном. Вообще никак...

Этими двумя вариантами возможные типы сходимости далеко не исчерпываются. Перечитывайте заново.

st256 в сообщении #216724 писал(а):

И как из определения, данного мною выше, следует, что эта функция обобщенная? Ну не скрывайте от меня эту жизненно важную информацию!!!

Никак не следует. Не из чего следовать. Поскольку никакого формального определения Вы не давали. Набор буковок -- это ещё не определение, его ещё надо уметь прочитать. А Вы не умеете, ну или делаете вид.

st256 в сообщении #216724 писал(а):

Значит Вы отказываетесь, от определения дельта-функции, которое есть в любом учебнике по математике?

Ни в одном учебнике по математике (ну разве что для кулинарного техникума) дельта-функцию не станут связывать со скалярным произведением.

st256 в сообщении #216724 писал(а):

Я сам в этих определениях запутался.

А я вот что-то засомневался, что Вы именно запутались. Иначе не стали бы так упорно игнорировать то, что Вам говорят.

[st256]

ewert в сообщении #216729 писал(а):

Ни в одном учебнике по математике (ну разве что для кулинарного техникума) дельта-функцию не станут связывать со скалярным произведением.

Интересно девки пляшут... Ну шут с ним.

Следующее определение, как я понимаю, тоже из книги "О вкусной и здоровой пище"?

Симметричная единичная импульсная функция или функция Дирака $\delta (x) $ действительной переменной $x$ определяется условием
$\int\limits_{a}^{b} f( \xi ) \delta ( \xi - X) d \xi = \left\{ \begin{array}{l} 0, $ при $ X < a $ или $ X>b, \\ \frac{1}{2}f(X), $ при $ X = a $ или $ X=b,\\ f(X), $ при $ a<X <b \end{array} \right.$

где $a<b$; $f(x)$ - произвольная функция, непрерывная в точке $x=X$.

[ewert]

st256 в сообщении #216739 писал(а):

Следующее определение, как я понимаю, тоже из книги "О вкусной и здоровой пище"?

Во-во, это и есть учебник для кулинарного техникума.

Если Вам эта тема вдруг и впрямь интересна, то имейте в виду следующее. С физической точки зрения под дельта-функцией понимается предел "дельтообразных последовательностей", т.е. таких функций $g_n$, что $\int_a^bf(\xi)g_n(\xi-x)d\xi\to f(x)$ при $n\to\infty$. И при этом удовлетворяющих определённым условиям. Что это за условия, и какой точный смысл придавать предельной функции -- физики понимают интуитивно, математики же наводят в этом понимании формальный порядок. Но ни тем, ни другим не придёт в голову выписывать $\int_a^bf(\xi)\delta(\xi-a)d\xi.$ Если, конечно, они люди воспитанные.

[CowboyHugges]

Цитата:

Определение дельта-функции такое?
$(u, \delta )=u(0)$
как из него следует, что "под интеграл её ведь запихнуть не получится"?
Низойдите до моего уровня, объясните!...
...ну и так, на всякий случай. Дельта-функция может быть всякая, в том числе и обычный sinc. Его-то наверное можно под интеграл "засунуть"?

Ну во первых то что я могу чего-то не понимать, это не шутка и не какая-то издёвка, это правда , зачем Вы сразу начинаете сердиться Во-вторых чтобы что-то засунуть под интеграл это что-то должно быть интегрируемо, разве не так? Дельта функция (и что значит дельта функция может быть всякая? Вы же сами написали её определение) не может быть представлена в виде локально интегрируемой функции, доказательство можете посмотреть во Владимирове В.С. "Уравнения математической физики". То что Вы пишете $\int_a^bf(\xi)\delta(\xi-a)d\xi.$, очень смахивает на свёртку этой самой дельта функции с функцией $f(\xi)$ но опять же определяется она несколько иначе для дельта функции. И можно попросить давать ссылки на те учебники, которыми Вы пользуетесь, очень любопытно

[ewert]

CowboyHugges в сообщении #216784 писал(а):

(и что значит дельта функция может быть всякая?

Это значит, видимо, что автор учил дельта-функции по ТОЭ'ям. А там действительно модно дельта-функциями (только разного порядка) обзывать и попросту функцию Хэвисайда, и всевозможные её производные.

[st256]

ewert в сообщении #216747 писал(а):

Во-во, это и есть учебник для кулинарного техникума.

Друг мой, это всего лишь Г.Корн и Т.Корн "Справочник по математике", изданный главной редакцией физико-математической литературы издательство "Наука" в 1970 г. Тогда в математике еще что-то понимали

...знаете, если у Вас степень ниже д.ф.-м.н., я с Вами, пожалуй, разговаривать не буду
Не интересно.

[ewert]

st256 в сообщении #216936 писал(а):

я с Вами, пожалуй, разговаривать не буду
Не интересно.

я в панике!

-------------------------
кстати, Корны -- книжка хоть и полезная, но далеко не везде удачная. Имейте это в виду.

[st256]

CowboyHugges в сообщении #216784 писал(а):

Ну во первых то что я могу чего-то не понимать, это не шутка и не какая-то издёвка, это правда , зачем Вы сразу начинаете сердиться

Я не сержусь. Я лишь приятно провожу время

CowboyHugges в сообщении #216784 писал(а):

Во-вторых чтобы что-то засунуть под интеграл это что-то должно быть интегрируемо, разве не так?

А разве функция $\frac{sin(x)}{x}$ не интегрируема?

Цитата:

Дельта функция (и что значит дельта функция может быть всякая? Вы же сами написали её определение)

Да-да. Именно. Она может быть всякая. Смотрите, если у Вас есть Гильбертово пространство, то один из этих векторов (и только один) может обладать фильтрующим свойством: $u(0)= (u,\delta)$. Например, Гильбертово пространство функций с финитным спектром имеет такой вектор. Это уже упоминавшийся sinc. В другом Гильбертовом пространстве, этот вектор будет, естественно, совершенно другой

Цитата:

не может быть представлена в виде локально интегрируемой функции, доказательство можете посмотреть во Владимирове В.С. "Уравнения математической физики".

Не доверяйте ни физикам, ни радиотехникам. Они Вам такое понапишут

Цитата:

То что Вы пишете , очень смахивает на свёртку этой самой дельта функции с функцией но опять же определяется она несколько иначе для дельта функции.

Где и как она определяется? И кто им разрешил ее так определять? Единственное свойство дельта-функции (из-за него она на свет появилась) заключается в ее фильтрующем свойстве. Поверьте, более она нигде нафиг не нужна. И если исходить только из этого свойства, то у Вас получается вполне жизнеспособный и компактный матаппарат. В противном случае, начинается ничем необоснуемый псевдоматематический базар, который кончается, так как он закончился сейчас: Колмогоров - лох. Подпись: студент - Троечников.

CowboyHugges в сообщении #216784 писал(а):

И можно попросить давать ссылки на те учебники, которыми Вы пользуетесь, очень любопытно

Та ни, они все по-французки... И там все больше про то, как фаршировать гусинную печенку трюфелями