интегрирование обобщенных функций

[st256]

Интегрирую на конечном отрезке функцию. В общем, в банальный ряд Фурье я раскладываю эту функцию. Вопрос: какие функции я могу, а какие не могу разложить в ряд Фурье на конечном отрезке? Что-то у классиков тут легкий бардак получается...

(PAV) Заголовок изменен на информативный

[terminator-II]

st256 в сообщении #216486 писал(а):

Интегрирую на конечном отрезке функцию. В общем, в банальный ряд Фурье я раскладываю эту функцию. Вопрос: какие функции я могу, а какие не могу разложить в ряд Фурье на конечном отрезке? Что-то у классиков тут легкий бардак получается...

про это целые главы в учебниках по функану пишут, какие функции можно раскладывать и в каком смысле понимать сходимость. а бардак он в голове

[st256]

terminator-II в сообщении #216495 писал(а):

про это целые главы в учебниках по функану пишут, какие функции можно раскладывать и в каком смысле понимать сходимость. а бардак он в голове

Я как видите, пытаюсь бороться с бардаком в голове, происходящим от чтения взаимоисключающих положений "в учебниках по функану". Кто-то, например, считает, что дельта-функцию можно интегрировать (представьте себе - по причине имеющегося у нее фильтрующего свойства!), а кто-то говорит, что негоже сим заниматься. Кто-то требует наличия условий Дирехле, а кто-то считает сие лишним. Продолжать можно бесконечно.

...короче, эго свое, Вы почесали. Есть, что сказать уже по заявленной теме? Если нет, то постойте в сторонке, пожалуйста.

[terminator-II]

st256 в сообщении #216498 писал(а):

Я как видите, пытаюсь бороться с бардаком в голове

не вижу, Вы пишите, что

st256 в сообщении #216486 писал(а):

у классиков тут легкий бардак

st256 в сообщении #216498 писал(а):

Есть, что сказать уже по заявленной теме?

я уже сказал, что по этой теме пишут толстые тексты, если Вы не в состоянии их переварить, то разумней с Вашей стороны будет выложить сюда конкретную фунуцию и обсуждать ее разложение в ряд Фурье

[st256]

Хорошо. Начнем с гребенки Дирака - суммы смещенных дельта-функций. Насколько правомочно ее разложение в ряд Фурье? На основе стробирующего свойства, это вроде возможно. Но она, тем не менее, считается неинтегрируемой.

[terminator-II]

st256 в сообщении #216504 писал(а):

Хорошо. Начнем с гребенки Дирака - суммы смещенных дельта-функций. Насколько правомочно ее разложение в ряд Фурье? На основе стробирующего свойства, это вроде возможно. Но она, тем не менее, считается неинтегрируемой.

Разложение любой периоической обобщенной функции в ряд Фурье возможно. Ряд Фурье обобщенной функции сходится в обобщенном смысле т.е. слабо. И еще :обобщенные функции не имеющие суммируемой плотности вообще не интегрируют. Для них не определена такая операция.

[st256]

Цитата:

Ряд Фурье обобщенной функции сходится в обобщенном смысле т.е. слабо.

Вот тут поподробнее. Как он вообще может сходиться, если, чтобы он сошелся, он должен разойтись? Напомню, дельта-фнкция Дирака стремиться к бесконечности.

Что значит "слабо"? Возможны множественные решения? Берется предел в среднем? А нафига тогда фильтрующее свойство? Я могу интегрировать дельта-функцию только на том основании, что она определяется через интегрирование? Или требуется уже имеющееся определение обвесить дополнительными оговорками? Я так и не нашел однозначного ответа на этот вопрос.

А вот что это такое:

Цитата:

обобщенные функции не имеющие суммируемой плотности

Что это за плотность такая? Как она определяется?

[terminator-II]

st256 в сообщении #216513 писал(а):

Вот тут поподробнее. Как он вообще может сходиться, если, чтобы он сошелся, он должен разойтись? Напомню, дельта-фнкция Дирака стремиться к бесконечности.

формально говоря она никуда не стремится, $\delta(x)$ это линейный функционал, который каждой гладкой функции $u(x)$ с компактным носителем ставит в соответствие число $u(0)$ пишется так $(\delta, u)=u(0)$.
Коэффициенты Фурье для любой $2\pi-$периодической обобщенной функции $f$ определяются ( с точностью до нормировочного множителя) следующим образом $c_k=(f,e^{-ikx})$ И соответственно ряд Фурье: $f=\sum c_ke^{ikx}$ Сходимость этого ряда понимается так: для любой гладкой периодической функции $u(x)$ должен содиться числовой ряд $\sum c_k\int_0^{2\pi}e^{ikx}u(x)dx$

st256 в сообщении #216513 писал(а):

Что это за плотность такая? Как она определяется?

Неформально говоря, если действие обобщенной функции $f$ на основную $u$ может быть представлено следующим образом $(f,u)=\int h(x)u(x)dx$ где $h$ - интегрируема по Лебегу, то функция $h$ называется плотностью обобщенной функции, и сама обобщенная функция отождествляется с этой плотностью. Не все обобщенные функции имеют плотность, например дельта-функция не имеет.

[st256]

Цитата:

формально говоря она никуда не стремится, это линейный функционал, который каждой гладкой функции с компактным носителем ставит в соответствие число пишется так .

Вот после таких заявлений и вынуждены люди лезть на форумы. Вы же ничего не ответили. По Вашему, дельта-функция определяется даже не из интегрирования, а из значительно более общего понятия - скалярного произведения. Правда, пошли уточниния - скалярного произведения с гладкой функцией. И все... А так, как интегрирование на интервале - скалярное произведение, а комплексная экспонента -гладкая функция, то интегрировать по-Вашему я могу без зазрения совести? Или опять не могу? Что будем делать с наметившимся бардаком?

А это к чему???

Цитата:

Сходимость этого ряда понимается так: для любой гладкой периодической функции должен содиться числовой ряд

Ну не сходится ряд вида 1+1+1+...., хоть убейте! Что за "слабая" сходимость? Ну не понимаю я этого...

Цитата:

Не все обобщенные функции имеют плотность, например дельта-функция не имеет.

А я говорю - имеет! Причем Вашими же словами. Исходя из Вашего же определения функционала, который я уточнил до интеграла.

Собственно, Вы сейчас цитируете те учебники, которые я, как раз, и не понимаю. Из определения, дельта функция интегрируема, а так, вообще-то, не очень... Парадокс...

[ewert]

Не следует мешать всё в кучу. Есть классическое определение преобразования Фурье. И есть его распространение по непрерывности на квадратично суммируемые функции (на которых оно, непосредственно по определению -- не определено). И есть его применение к обобщённым функциям -- это уже совсем третий вопрос.

В общем, пытайтесь отделять мух от котлет и в каждом случае чётко осознавать, что в точности предполагается. Тогда, я думаю, всё получится.

[terminator-II]

ewert
take a look there post216523.html#p216523

[ewert]

Да я видел. Но не могу сосредоточиться.

Меня занимает вопрос: действительно ли ненулевой угол между непересекающимися подпространствами равносилен замкнутости их суммы?... или хоть в одну сторону?...

Я ответа просто не знаю. А ведь должен он быть, и общеизвестным.

[terminator-II]

ewert в сообщении #216530 писал(а):

Да я видел. Но не могу сосредоточиться.

Меня занимает вопрос: действительно ли ненулевой угол между непересекающимися подпространствами равносилен замкнутости их суммы?... или хоть в одну сторону?...

Я ответа просто не знаю. А ведь должен он быть, и общеизвестным.

Робертсон Топологические векторные пространства. Там эти вещи обсуждаются

[ewert]

terminator-II в сообщении #216531 писал(а):

непрерывность проектора равносильна,

ну этого я не понял. Непрерывность проектора просто автоматична.

[st256]

ewert в сообщении #216528 писал(а):

Не следует мешать всё в кучу. Есть классическое определение преобразования Фурье. И есть его распространение по непрерывности на квадратично суммируемые функции (на которых оно, непосредственно по определению -- не определено). И есть его применение к обобщённым функциям -- это уже совсем третий вопрос.

Все, что я спросил, если функция определяется вот так:

$ y(x) = \int\limits_{ a }^{ b } \delta ( \tau - t) x( \tau ) d \tau $

то могу я считать этот интеграл берущимся??? Ну могу я определив функцию, как показано выше на основании этого определения эту функцию проинтегрировать???? Да или нет??? Если нет, то почему? Если да, то к чему вся это неопределенность в изучательной литературе?

Я вот сказал про бардак в учебниках. Мне в ответ соизволили заметить, что бардак у меня в голове. После дали ценный гастрономический совет. Но ясный и четкий ответ на ясно и четко поставленный вопрос ясно и четко замылили. Господа, так у кого в голове бардак?