теория групп (дискретность локально-компактных групп)

[AndreySP]

Доказать, что каждая локально-компактная группа дискретна.

[Brukvalub]

AndreySP в сообщении #215664 писал(а):

Доказать, что каждая локально-компактная группа дискретна.

Не думаю, что это верный факт. См., например, http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=14&year=1995&volume=186&issue=2&fpage=83&lpage=92&option_lang=rus

[Профессор Снэйп]

А я вот подзабыл определение локальной компактности Почему-то казалось, что действительная прямая с естественной топологией локально компактна.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #215725 писал(а):

А я вот подзабыл определение локальной компактности

Топологическая группа называется локально-компактной, если в ее топологии существует окрестность нуля с компактным замыканием.
Так что Ваш, Профессор Снэйп, пример - верный.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub в сообщении #215743 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #215725 писал(а):

А я вот подзабыл определение локальной компактности

Топологическая группа называется локально-компактной, если в ее топологии существует окрестность нуля с компактным замыканием.

Нет, зря я всё-таки усомнился в своей памяти. Определение я помнил правильно. Группа $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ локально-компактна и не дискретна, а тема создана афтаром в помрачении рассудка.

[AndreySP]

Профессор Снэйп
Да таки был немного )) Я пропустил одно слово в условии, группа должна быть счетная...

[id]

Теорема Александрова-Урысона тут, кажется, релевантна:

Цитата:

Всякий бикомпакт без изолированных точек имеет мощность не меньше континуума.

( вообще, конструкция континуума достаточно интуитивна, можно даже и не ссылаться )

Однако, чтобы ее использовать, нужно показать хаусдорфовость, а для этого в силу леммы

Цитата:

Топологическая группа хаусдорвофа тогда и только тогда, когда единица замкнута.

нужно убедиться в замкнутости единицы... а вот дальше что-то фантазия не идет.

-- Сб май 23, 2009 09:47:47 --

Непонятная все-таки задача. Произвольная счетная группа с антидискретной топологией удовлетворяет же условию задачи?

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #216073 писал(а):

Непонятная все-таки задача. Произвольная счетная группа с антидискретной топологией удовлетворяет же условию задачи?

А почему она будет локально компактна?

[id]

Профессор Снэйп
Окрестности - только все пространство, замыкание - тоже, соответственно. Единственное возможное покрытие - всем пространством. Странно как-то, я, наверно, не понимаю определение.

[slimnbu]

Товарищ видимо слегка неправильно переписал условие задачи. Впринципе она звучит так- доказать что всякая СЧЁТНАЯ!!! локально-компактная группа является дискретной. Что в таком случае?