Физическое приложение интеграла

[INDIGO1991]

Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $A=90$) является материальным однородным стержнем длинной $4a$ и массы $M$. в вершину $C$ помещена материальная точка массой $m$, $AC=3а$.
Необходимо найти силу с которой точка притягивает стержень.

Что уже сделал:
Я сначала оценил модуль искомой силы действующий на i-тый отрезок $F_i$ (разбив стержень на $n$ частей):

$G \frac{m*M/n}{(3a)^2 + (4a(i+1)/n)^2}<|F_i|<G \frac{m*M/n}{(3a)^2 + (4ai/n)^2}$

Затем нашел составляющую искомой силы по оси y для всего отрезка $F_y$ (забыл сказать: ввел координаты следующим образом: $y$ по $СA$ , $x$ по $AB$):

$\sum\limits_{i=1}^n G\frac{3amM/n}{ ( (3a)^2 + (4a(i+1)/n)^2)^{3/2}}<|F_y|<\sum\limits_{i=1}^n G\frac{3amM/n}{ ( (3a)^2 + (4ai/n)^2)^{3/2}}$

ну а это есть интегральные суммы одной функции и разумеется $|F_y|$ я нашел.

А вот что делать с составлющей по другой оси никак не могу придумать.
В этом заключается прблема.
Зарание спасибо.

-- Ср май 20, 2009 22:53:33 --

если оценивать модуль силы по другой составляющей домножением модуля силы действующего на i-ый отрезок, то там интегральная сумма не получается.

[EtCetera]

Не нужно разбивать стержень на части (то есть можно, конечно, но если Вы знаете, что такое интеграл, то это как-то несерьезно):
$F_x=\frac{GMm}{4a}\int_0^{4a}\frac{1}{x^2+(3a)^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+(3a)^2}}\,dx$
$F_y=\frac{GMm}{4a}\int_0^{4a}\frac{1}{x^2+(3a)^2}\frac{3a}{\sqrt{x^2+(3a)^2}}\,dx$ (насколько я понял, ось $y$ направлена вдоль $AC$);
$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$
Вам непонятно, как взять первый интеграл? Он берется даже проще второго...

[INDIGO1991]

Я умею брать подобные интегралы, но не понимаю от куда можно вытряхнуть $F_x$ с математической точки зрения.

Определенный интеграл- есть предел интегральных сумм.

p.s. мне нужно чисто математическое решение.

[EtCetera]

М-да... Как бы Вам попонятнее объяснить? Интеграл - предел интегральных сумм и все такое , никто не спорит. Но решать все физические (и не только) задачи, каждый раз строя интегральные суммы - долго, утомительно и неэффективно. Один раз можно сделать, для примера. А дальше все становится слишком очевидно, чтобы строить эту конструкцию каждый раз заново.
Давайте попробуем в Ваших терминах. Пусть действительно мы разбили $AB$ на $n$ частей, но так, что $\Delta x=\frac{4a}{n}$. Погонная плотность стрежня $\rho=\frac{M}{4a}$. Тогда масса $i$-го сегмента $m_i=\rho\Delta x$. Модуль силы, действующий на $i$-ый сегмент:
$F_i=\frac{Gm_im}{x_i^2+(3a)^2}$, где $x_i=i\Delta x$ (на самом деле, еще $-\frac{\Delta x}{2}$, но в пределе все уйдет).
Вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений:
$F_{ix}=F_i\cos\phi=F_i\frac{x_i}{\sqrt{x_i^2+(3a)^2}}$
$F_{iy}=F_i\sin\phi=F_i\frac{3a}{\sqrt{x_i^2+(3a)^2}}$
Интегральные суммы:
$F_x\approx\sum_{i=1}^nF_{ix}=\frac{Gm\rho\Delta x}{x_i^2+(3a)^2}\frac{x_i}{\sqrt{x_i^2+(3a)^2}}$
$F_y\approx\sum_{i=1}^nF_{iy}=\frac{Gm\rho\Delta x}{x_i^2+(3a)^2}\frac{3a}{\sqrt{x_i^2+(3a)^2}}$
Их пределы (в пределе $x_i$ заменяется на $x$, $\Delta x$ - на $dx$):
$F_x=\int_0^{4a}\frac{Gm\rho dx}{x^2+(3a)^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+(3a)^2}}$
$F_y=\int_0^{4a}\frac{Gm\rho dx}{x^2+(3a)^2}\frac{3a}{\sqrt{x^2+(3a)^2}}$
(в последних выражениях нужно еще заменить $\rho$ на $\frac{M}{4a}$).
Обычно при решении таких задач всю стадию с интегральными суммами благополучно пропускают, и в формулах сразу фигурируют $x$ (вместо $x_i$) и $dx$ (вместо $\Delta x$).

[INDIGO1991]

EtCetera в сообщении #215655 писал(а):

Модуль силы, действующий на $i$-ый сегмент:
$F_i=\frac{Gm_im}{x_i^2+(3a)^2}$, где $x_i=i\Delta x$ (на самом деле, еще $-\frac{\Delta x}{2}$, но в пределе все уйдет).

Вот с этим я не совсем согласен так как этот i-ый сигмент имеет длинну и сила действующая на него не равна тому что вы написали.

истинная сила меньше $\frac{Gm_im}{x_{i}^2+(3a)^2}$ но больше $\frac{Gm_im}{x_{i+1}^2+(3a)^2}$

и соответственно $F_{ix}$ тоже сразу точно не определяется:

$G\frac{m_im}{x_{i+1}^2+(3a)^2} \frac{x_i}{(x_{i}^2+(3a)^2)^{1/2}} <|F_{ix}|<G\frac{m_im}{x_{i}^2+(3a)^2} \frac{x_{i+1}}{(x_{i+1}^2+(3a)^2)^{1/2}}$

Ну и возникает проблема с нахождением функции интегральными суммами которой являются выражения стоящие слева и справа.

-- Чт май 21, 2009 00:32:02 --

Смысл этой зачетной задачки как раз и состоит в том чтобы сделать все по честному через интегральные суммы))))

[EtCetera]

INDIGO1991 в сообщении #215661 писал(а):

этот i-ый сигмент имеет длинну и сила действующая на него не равна тому что вы написали

Ну разумеется, не равна. Строго говоря, нужно записывать двойное неравенство (как это делали Вы). Но в пределе все будет здорово (по вине двух милиционеров ).
Если честно, так и не понял, что Вас смущает.
А нельзя "сжульничать" и найти функцию, которая является ответом, а потом подогнать под нее все измышления по поводу интегральных сумм?

[INDIGO1991]

вот как раз подогнать я и не могу. Я уже несколько дней видимо очень сильно туплю.
А точнее как оценить получившиеся суммы чтобы они стали интегральными суммами.