Задача Дирихле

[Senobit]

Здравствуйте,
Дана задача Дирихле
$\Delta u=x(y+1)$
$u(x,y)=0 $ на границе прямоугольника: $0<x<2,0<y<2$
Решение:
$u=v+w$, где $v(x,y)$ удовлетворяет уравнению и граничным условиям,
$w(x,y)$ удовлетворяет уравнению Лапласа и

$w(0,y)=-v(0,y)$
$w(2,y)=-v(2,y)$
$w(x,0)=-v(x,0)$
$w(x,2)=-v(x,2)$

Вопрос: как найти и подобрать $v(x,y)$?(во многих учебниках и задачниках обычно указывается сразу готовая функция $v(x,y)$ или ее общий вид, а тут как?)(Например я функцию подобрал, чтобы она удовлетворяла уравнению Пуассона, а вот граничным условиям нет......)

[V.V.]

Senobit в сообщении #215581 писал(а):

Например я функцию подобрал, чтобы она удовлетворяла уравнению Пуассона, а вот граничным условиям нет...

Дык, вот у Вас и получалась задача Дирихле для уравнения Лапласа на функцию $w$.

[worm2]

$v(x,y)$ нужно подбирать, чтобы она удовлетворяла только уравнению Пуассона, а граничным условиям она не должна удовлетворять!

-- Ср май 20, 2009 22:31:40 --

Т.е. тут смысл какой: правую часть уравнения Пуассона обнулить, "перекинув" её в краевые условия. Поэтому ищут функцию, удовлетворяющую только основному уравнению, а о краевых условиях не заботятся.

Иногда выгоднее поступить наоборот: избавиться от краевых условий (сделать их однородными), "перекинув" их в правую часть основного уравнения. Тогда ищут функцию, удовлетворяющую только краевым условиям, чтобы вычтя её из искомой, получить основное уравнение с ненулевой, вообще говоря, правой частью, но с однородными краевыми условиями.

Искать же функцию, удовлетворяющую одновременно и основному уравнению, и краевым условиям --- это же значит уже решить поставленную задачу И никакого $w$ тогда не надо будет. Если задача корректно поставлена, то у $w$ будет ровно одно решение --- нулевое.

[Senobit]

-- Ср май 20, 2009 21:41:09 --

worm2 в сообщении #215604 писал(а):

Искать же функцию, удовлетворяющую одновременно и основному уравнению, и краевым условиям --- это же значит уже решить поставленную задачу

смешно вышло.......ок, я Вас понял........эт получается, что нада найти произвольную функцию
$v(x,y)$, удовлетворяющая только$\Delta u=x(y+1)$и потом найти $w(x,y)$:
$\Delta w=0$
$w(0,y)=-v(0,y)$
$w(2,y)=-v(2,y)$
$w(x,0)=-v(x,0)$
$w(x,2)=-v(x,2)$


получается, что так?

[terminator-II]

Senobit в сообщении #215581 писал(а):

Здравствуйте,
Дана задача Дирихле
$\Delta u=x(y+1)$
$u(x,y)=0 $ на границе прямоугольника: $0<x<2,0<y<2$

раскладывайте правую часть по собственным функциям оператора Лапласа; и ищете решение в виде соответствующего ряда Фурье.

а это все:

Senobit в сообщении #215581 писал(а):

Решение:
$u=v+w$, где $v(x,y)$ удовлетворяет уравнению и граничным условиям,
$w(x,y)$ удовлетворяет уравнению Лапласа и

$w(0,y)=-v(0,y)$
$w(2,y)=-v(2,y)$
$w(x,0)=-v(x,0)$
$w(x,2)=-v(x,2)$

Вопрос: как найти и подобрать $v(x,y)$?(во многих учебниках и задачниках обычно указывается сразу готовая функция $v(x,y)$ или ее общий вид, а тут как?)(Например я функцию подобрал, чтобы она удовлетворяла уравнению Пуассона, а вот граничным условиям нет......)

не нужно

[Senobit]

terminator-II в сообщении #215627 писал(а):

раскладывайте правую часть по собственным функциям оператора Лапласа; и ищете решение в виде соответствующего ряда Фурье.

Спасибо, решил как Вы сказали, все сошлось.......))