Оценка младшего сингулярного числа матрицы

[Eugene]

Добрый день! Пожалуйста, помогите разобраться со следующей задачей.
Дана квадратная матрица А порядка n:
$ A= \begin{array}{|c | c | c | c | c|} \hline 1 & a_1 & & & \\ \hline & 1 & a_2 & & \\ \hline & & ... & ... & \\ \hline & & & 1& a_{n-1} \\ \hline & & & & 1 \\ \hline \end{array} a_i>0 $
Доказать, что младшее сингулярное число $\sigma_n$ матрицы А удовлетворяет неравенствам

$$0<\sigma_n<\frac 1 {a_1 a_2 ... a_{n-1}} $$

В решении нужно, скорее всего, опираться на теорему, что младшее сингулярное число матрицы есть спектральное расстояние от нее до множества вырожденных матриц, т.е.

$$\sigma_n( A )=\inf\limits_{rank B\leqslant n-1} ||A-B||_2$$

Я пробовал подбирать матрицы B, а потом собственные значения оценивать исходя из диагонального преобладания, но ничего особо хорошего не получил...

[Егор]

Младшее сингулярное число $\sigma_n(A)$ матрицы $A$ есть квадратный корень из младшего собственного числа $\lambda_n(A^*A)$ матрицы $A^*A$. В этом примере матрица $A^*A=A^T A$ имеет довольно простой вид (трёхдиагональная), и можно попробовать этот путь. Минимальное собственное число матрицы $A^T A$ есть минимум "отношений Рэлея" $\frac{v^T A^T A v}{\|v\|^2}$, и можно попытаться подобрать подходящий вектор $v$.

-- Пт май 22, 2009 02:12:07 --

Оба наших способа приводят к успеху:

Нужную матрицу $B$ можно получить из $A$ изменением левого нижнего элемента.

В качестве вектора $v$, для которого будет иметь хороший вид величина $\frac{\|Av\|}{\|v\|}$, можно взять $v=(a_1\cdots a_n, -a_2\cdots a_n, a_3\cdots a_n,\ldots,1)^T$.

Но эти два способа требуют угадывания.

Намного естественнее третий способ: найти $A^{-1}$ и вспомнить, что означает $\sigma_n(A)$ для $A^{-1}$.

[Eugene]

Спасибо большое, разобрался!