Разложение в степенной ряд

[rar]

Разложить функцию

$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$

в степенной ряд по степеням (

$$x - 0$$

), используя известные разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Указать область сходимости полученного ряда.


Вот разложил:

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+...+x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$$

Так, как теперь исследовать область сходимости получившегося ряда?
Если по формуле Коши:

$$R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$$

, то тут у меня затруднения. Что в место

$$c_n$$

надо брать (тем более, ряд знакочередующийся):

$$(-1)^n$$

что ли?

[Xaositect]

Вспомнить известные разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
В частности, геометрическую прогрессию
$\frac{1}{1-x} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k$

[rar]

Сделал. Теперь проблема с областью сходимости. Как её определить?

[Brukvalub]

rar в сообщении #213746 писал(а):

Теперь проблема с областью сходимости. Как её определить?

Используйте ф-лу Кощи-Адамара.

[rar]

Brukvalub в сообщении #213779 писал(а):

rar в сообщении #213746 писал(а):

Теперь проблема с областью сходимости. Как её определить?

Используйте ф-лу Кощи-Адамара.

Это что за формула такая? Не надо заходить за рамки программы...

[ewert]

$${1\over R}=\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$

И это вовсе не за рамками. При доказательстве теоремы Абеля именно эта формула и используется для доказательства существования радиуса сходимости у любого степенного ряда.

Хотя в Вашем случае проще поступить иначе: найти область сходимости для переменной $t=x^2$ (хотя бы и по Даламберу) и пересчитать её на иксы.

[Полосин]

Радиус сходимости - расстояние от центра разложения до ближайшей особой точки (на комплексной плоскости).

[ewert]

Полосин в сообщении #214103 писал(а):

Радиус сходимости - расстояние от центра разложения до ближайшей особой точки (на комплексной плоскости).

Это, конечно, верно, но лирично. Теорема Абеля сама по себе никаких аналитичностей не требует.

[rar]

Там кое-что исправил. Но опять трудности возникли.

[mkot]

rar в сообщении #213719 писал(а):

Что в место

$$c_n$$

надо брать (тем более, ряд знакочередующийся):

$$(-1)^n$$

что ли?

А вы выпишите несколько первых коэффициентов при степенях $x$, станет понятно.
При $x^0$ -- ?
При $x^1$ -- ?
При $x^2$ -- ?
При $x^3$ -- ?
При $x^4$ -- ?
При $x^5$ -- ?
При $x^6$ -- ?

[rar]

Куда выписать и откуда?

[Brukvalub]

rar в сообщении #213719 писал(а):

Если по формуле Коши:

$$R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$$

Это неверная формула - пропущен знак ВЕРХНЕГО предела. Лучше уж тогда делайте, как учит мудрый ewert

ewert в сообщении #213870 писал(а):

Хотя в Вашем случае проще поступить иначе: найти область сходимости для переменной $t=x^2$ (хотя бы и по Даламберу) и пересчитать её на иксы.

[mkot]

Brukvalub в сообщении #214762 писал(а):

rar в сообщении #213719 писал(а):

Если по формуле Коши:

$$R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$$

Это неверная формула - пропущен знак ВЕРХНЕГО предела. Лучше уж тогда делайте, как учит мудрый ewert

Brukvalub, я думал, что когда rar выпишет соответствующие $c_n$, то поймёт что этот пропущенный знак по существу, ну да ладно.

rar в сообщении #214756 писал(а):

Куда выписать и откуда?

на бумагу из ряда

rar в сообщении #213719 писал(а):

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+...+x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$$

[Brukvalub]

mkot в сообщении #214779 писал(а):

Brukvalub, я думал, что когда rar выпишет соответствующие $c_n$, то поймёт что этот пропущенный знак по существу, ну да ладно.

А я подумал, что он в принципе не сможет понять своей ошибки, поскольку знает только именно эту, упрощенную ф-лу Коши-Адамара, которая не годится, если предела нет.

[mkot]

Brukvalub в сообщении #214782 писал(а):

А я подумал, что он в принципе не сможет понять своей ошибки, поскольку знает только именно эту, упрощенную ф-лу Коши-Адамара, которая не годится, если предела нет.

Но она же здесь уже была в правильном виде написана:

ewert в сообщении #213870 писал(а):

$${1\over R}=\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$