Задача Коши для системы дифференциальных уравнений

[rar]

Решить задачу Коши для системы уравнений операторным методом

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt}=5y-3x \\ \frac{dy}{dt}=y-x \\ \end{array}$$

с начальными условиями

$$x(0)=-1$$

,

$$y(0)=1$$

. И методом исключения неизвестных.


Решаем (операторный метод):

$$\left\{ \begin{array}{l} p\overline{x}-x(0)=5\overline{y}-3\overline{x} \\ p\overline{y}-y(0)=\overline{y}-\overline{x} \\ \end{array}$$

$$\left\{ \begin{array}{l} \overline{x}(p+3)=5\overline{y}-1 \\ \overline{y}(p-1)=1-\overline{x} \\ \end{array}$$

В итоге получаем:

$$\left\{ \begin{array}{l} \overline{x}=\frac{6-p}{p^2+2p+2}=7\frac{1}{(p+1)^2+1}-\frac{p+1}{(p+1)^2+1} \\ \overline{y}=\frac{p+4}{p^2+2p+2}=\frac{p+1}{(p+1)^2+1}+3\frac{1}{(p+1)^2+1} \\ \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=7e^{-t}\sin{t}-e^{-t}\cos{t}=\left(7\sin{t}-\cos{t}\right)e^{-t} \\ y=e^{-t}\cos{t}+3e^{-t}\sin{t}=\left(\cos{t}+3\sin{t}\right)e^{-t} \\ \end{array} $$

Ответ:

$$x=\left(7\sin{t}-\cos{t}\right)e^{-t}$$

,

$$y=\left(\cos{t}+3\sin{t}\right)e^{-t}$$

.



Решаем методом исключения неизвестных:

Исходное уравнение

$$\left\{ \begin{array}{l} x'=5y-3x \\ y'=y-x \\ \end{array}$$

Выражаем y через x

$$x=y-y'$$

$$(y-y')'=5y-3(y-y')$$

$$y''+2y'+2y=0$$

Характеристическое уравнение

$$k^2+2k+2=0$$

Решение хар. уравнения

$$k_{1,2}=-1\pm i$$

Общее решение

$$y=e^{-t}(C_1\cos{t}+C_2\sin{t})$$

Подставим начальное условие

$$y(0)=1$$

$$1=e^{-1\cdot 0}(C_1\cos{0}+C_2\sin{0})$$

$$C_1=1$$

Для нахождения

$$C_2$$

: подставим начальные условия в исходное уравнение

$$y'=y-x $$

, найдем

$$y'$$

, откуда найдем

$$C_2$$

.

$$y'(0)=y(0)-x(0) $$

$$y'(0)=2 $$

$$y'=e^{-t}\cos{t}(C_2-C_1)-e^{-t}\sin{t}(C_2+C_1)$$

$$C_2=3$$

Тем самым

$$y=\left(\cos{t}+3\sin{t}\right)e^{-t}$$

Теперь найдем x из уравнения

$$y'=y-x $$

$$x=y-y'=\left(\cos{t}+3\sin{t}\right)e^{-t}-2e^{-t}\cos{t}+4e^{-t}\sin{t}=\left(7\sin{t}-\cos{t}\right)e^{-t}$$

[ewert]

rar в сообщении #214367 писал(а):

В итоге получаем:

$$\left\{ \begin{array}{l} \overline{x}=\frac{6-p}{p^2+2p+2} \\ \overline{y}=\frac{p+4}{p^2+2p+2} \\ \end{array}$$

Вот не знаю как найти

$$x$$

и

$$y$$

. Никакая теорема не помогает. Посоветуйте что-нибудь.

Выделите в знаменателе полный квадрат и на этом основании сделайте замену $q=p+1.$ Найдите оригиналы получившихся дробей по таблице (это будут комбинации синуса и косинуса). Потом вернитесь обратно по теореме затухания (добавится экспонента).

rar в сообщении #214367 писал(а):

Решаем методом исключения неизвестных:

Исходное уравнение

$$\left\{ \begin{array}{l} (p+3)\overline{x}-5\overline{y}=-1 \\ \overline{x}+(p-1)\overline{y}=1 \\ \end{array}$$

Имелся в виду метод исключения как альтернатива исходному, т.е. применительно к исходной системе

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt}=5y-3x \\ \frac{dy}{dt}=y-x \\ \end{array}$$

Просто выразите $x(t)$ через всё остальное из второго уравнения и подставьте в первое. Получите уравнение второго порядка для $y(t)$.

[rar]

Там кое-что подправил. Посмотрите еще разок. В самом низу кое-какие затруднения возникли.

[ewert]

rar в сообщении #214367 писал(а):

Общее решение

$$y=e^{-t}(C_1\cos{t}+C_2\sin{t})$$

Вот здесь дальше как? Надо найти

$$C_1$$

и

$$C_2$$

для полного нахождения

$$y$$

через решение систему с

$$C_1$$

и

$$C_2$$

?

Подставлять начальные условия. Значение $y(0)$ у Вас есть, а $y'(0)$ найдёте, подставив имеющиеся начальные данные в исходную систему.

[rar]

[quote="ewert в [url=http://dxdy.ru/post214614.html#p214614]
Подставлять начальные условия. Значение $y(0)$ у Вас есть, а $y'(0)$ найдёте, подставив имеющиеся начальные данные в исходную систему.[/quote]

Ну

$$C_1$$

я нашел, подставив начальное условие

$$y(0)=1$$

. Проблема с нахождением

$$C_2$$

. Помогите.

[ewert]

rar в сообщении #214617 писал(а):

ewert в [url=http://dxdy.ru/post214614.html#p214614[/url] писал(а):

Подставлять начальные условия. Значение $y(0)$ у Вас есть, а $y'(0)$ найдёте, подставив имеющиеся начальные данные в исходную систему.

Ну

$$C_1$$

я нашел, подставив начальное условие

$$y(0)=1$$

. Проблема с нахождением

$$C_2$$

. Помогите.

ewert в [url=http://dxdy.ru/post214614.html#p214614[/url] писал(а):

, а $y'(0)$ найдёте, подставив имеющиеся начальные данные в исходную систему.

[rar]

Не понял, если честно. По понятней разъясните, пожалуйста. Так что конкретно надо сделать?

-- Вс май 17, 2009 22:49:34 --

Так, подправил, кое-что. Опять проблемы в самом конце! Помогите, пожалуйста.

-- Вс май 17, 2009 23:48:12 --

Так. Полностью сделал. Кажется, правильно. Если не затруднит, проверьте второе решение.