Граничное поведение аналитических функций

[Asalex]

Подскажите пожалуйста где изложено как операторам
$C_{\pm}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow+0}\int\limits_\Sigma\frac{f(s)ds}{s-(z{\pm}i\varepsilon)}$
(здесь $\Sigma$-контур в комплексной области, $f(z)$-комплекснозначная функция, заданная на$\Sigma$)
придаётся смысл как действующим из $L_p(\Sigma)$ в $L_p(\Sigma)$ и как доказывается что $C_+-C_-=I$

[Полосин]

Во-первых, $\varepsilon\rightarrow+0$. Во-вторых, $C_+-C_-=2\pi iI$.
Навскидку: посмотрите следующие книги и библиографию в них:
Мусхелишвили, "Сингулярные интегральные уравнения".
Гахов. "Краевые задачи".
Прёсдорф, Мазья. Обзор в сб. ВИНИТИ - Итоги науки и техники, конец 80-х.
Михлин (название не помню).
Если нужно подробнее, напишите, на днях уточню.

[Asalex]

Большое спасибо. Посмотрю в этих книгах, потом отпишусь.
В Михлине "Линейные уравнения в частных производных" 1977 в гл 6 есть формула Сохоцкого- Племели для гельдеровых функций, и оператор Гильберта распространяется на $L_2(\Sigma)$, но я не нашел ничего о том как операторы $C_\pm$ распространяются на $L_2$.
В Пресдорфе З., Мазья В.Г. Анализ 4. "Интегральные уравнения" Итоги ВИНИТИ 27, 1988 в главе 3, пункт 1.2.6 приводится формула Сохоцкого-Племеля для функций класса $L_1(\Sigma)$, но там не говорится о том, какому классу принадлежат предельные функции $C_\pm$.
В Мусхелишвили "Сингулярные интегральные уравнения", 1968 все делается для гельдеровских функций.

[Утундрий]

у Гахова хорошо написано, советую начать с нее.

[Asalex]

Посмотрел сегодня Гахова. Там все для гельдеровских функций.

[Утундрий]

А, прошу прощения, не обратил внимания... Честно говоря, в приложениях классов типа {0} с головой хватает, за обобщениями не слежу. Так что ничем помочь не могу, увы.

[Asalex]

Скорее всего операторы $C_\pm$ распространяют на класс $L_p(\Sigma)\rightarrow L_p(\Sigma)$, определяя его формулой Сохоцкого-Племели
$C_{\pm}{f(z)}=\pm\frac{1}{2\pi i}f(z)+\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Sigma}\frac{f(s)ds}{s-z}$.
Это решает мою проблему, но всё-таки остаётся вопрос, можно ли продолжить операторы $C_\pm$ с класса гельдеровых функций на $L_p(\Sigma)\rightarrow L_p(\Sigma)$ непосредственно и будет ли при таком продолжении верна формула Сохоцкого-Племели.

[Егор]

Об определении и свойствах сингулярного оператора

$$(S f)(z)=\frac{1}{\pi i}\int_\Sigma\frac{f(s)\,ds}{s-z}$$

в пространствах $L_p(\Sigma)$, $1<p<\infty$, можно почитать в книге
Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. — Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов.
Есть также более новое и красивое издание на английском:
Gohberg, Israel; Krupnik, Naum, One-dimensional linear singular integral equations. I. Introduction. 1992.

Идея следующая: оператор $S$ можно определить на рациональных функциях и распространить на $L_p$ по непрерывности. Также можно интегрировать по $s\in\Sigma, |s-z|>\varepsilon$, и затем устремлять $\varepsilon$ к нулю. Если $f\in L_p$, то предел будет существовать для почти всех $z$.

[Asalex]

И остался неясным вопрос о том,что из себя представляют предельные значения интеграла Коши
$Cf(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_\Sigma{\frac{f(s)}{s-z}},z\notin\Sigma$
для функций $f\in L_p(\Sigma)$
В книге Deift Orthogonal polynomials and random matrices, a Riemann-Hilbert approach на стр 183 дается ссылка на книгу
Stein Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions

но я в книге Стейна увидел только о сингулярных операторах, а о предельных значениях интеграла типа Коши от функций класса $L_p$ я ничего не нашел.

[Asalex]

Я нашел кое-какую информацию о граничном поведении сингулярных интегралов. В книге Пола Кусиса "Введение в теорию пространств $L_p$" (Paul Koosis Introduction to $L_p$ spaces) изучается граничное поведение гармоничных функций. В частности, там есть такие теоремы:

Определение 1 Пусть $1<p<\infty$ - некоторое число. Назовем классом гармонических функций с граничным поведением $L_p$ и обозначим $GH^p$ множество вещественнозначных гармонических внутри единичного шара функций $U(re^{i\phi})$, для которых $\sup\limits_{0\leq r<1}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|U(re^{i\phi})|^pd\phi<C<\infty$

Теорема 1 Для всякой функции $U(re^{i\phi})$ принадлежащей классу $GH^p$ существует функция $F\in L_p[-\pi,\pi]$, такая что $U(re^{i\phi})=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1-r^2}{1-2rcos(\phi-\theta)+r^2}F(\theta)d\theta$

Справедливо обратное утверждение, а именно если
Теорема 2 $F\in L_p[-\pi,\pi]$, то функция $U(re^{i\phi})=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1-r^2}{1-2rcos(\phi-\theta)+r^2}F(\theta)d\theta$ принадлежит классу $GH^p$

Есть теоремы о граничном поведении гармонической внутри единичного круга функции $U$:

Теорема 3 Если $U(re^{i\phi})$ принадлежит классу $GH^p$, а $F\in L_p[-\pi,\pi]$-функция из теоремы 1, то $U$ стремится к $F$ в смысле пространста $L_p$, то есть
$\lim\limits_{r\rightarrow 1}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|U(re^{i\phi})-F(\phi)|^pd\phi=0$

Кроме того, есть теорема о поточечном граничном поведении функции $U(re^{i\phi})$:
Теорема 4 Для почти всех точек $\phi\in [-\pi,\pi]$ существует некасательный предел $\lim\limits_{re^{i\theta}\rightarrow e^{i\phi}}U(re^{i\theta})=F(\phi)$, когда $re^{i\theta}$ стремится к $e^{i\phi}$ оставаясь внутри некоторого острого угла.


Мне надо понять, верны ли аналогичные факты для интегралов типа Коши. То есть вместо представления Пуассона для гармонических функций $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1-r^2}{1-2rcos(\phi-\theta)+r^2}F(\theta)d\theta$ надо рассмотреть интеграл типа Коши $\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Sigma}\frac{F(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}$
Непосредствеено переносить все доказательства со случая ядра Пуассона $\displaystyle\frac{1-r^2}{1-2rcos(\phi-\theta)+r^2}$ на случай ядра $\displaystyle\frac{d\zeta}{\zeta-z}$ у меня не получается, так как в первом случае используется положительность ядра Пуассона, чего нет для второго ядра.