Семь очков при броске одного кубика

[General]

В книге Последний Герой Терри Пратчетта описано, как Коэн Варвар сыграл в кости с Роком. Рок выбросил шестёрку и сообщил Коэну, что тот должен выбросить 7, чтобы победить.
Тогда Коэн подбросил кубик и перерубил его в полёте мечом на 2 половинки. Одна половинка упала кверху шестёркой, другая – единицей.

Давайте обсудим, какова вероятность выбросить больше 6-ти очков, перерубив кубик на 2 половинки в полёте (вероятность того, что опытный воин может перерубить в воздухе игральный кубик примем за 1)

[venco]

Если предположить, что плоскость разреза проходит через центр кубика параллельно одной из граней, и получившиеся параллелепипеды падают на одну из двух больших по площади граней с вероятностью 1/2, то вероятность получить больше 6-ти, а именно - 7, равна 1/4.

[General]

venco писал(а):

Если предположить, что плоскость разреза проходит через центр кубика параллельно одной из граней, и получившиеся параллелепипеды падают на одну из двух больших по площади граней с вероятностью 1/2, то вероятность получить больше 6-ти, а именно - 7, равна 1/4.

Вот-вот, я так же прикинул.
но можно попробовать теперь глубже копнуть - к примеру, когда-то встречал задачу про вероятность падения толстой монеты на ребро (которую можно применить тут к половине кубика) или оценить вероятность разрезания кубика на 2 параллелепипеда (или близких к ним 4-угольных призмы, а не на 2 треугольных призмы). Или поправка вследствие учёта этих возможностей будет незначительной?

[VAL]

General писал(а):

Но можно попробовать теперь глубже копнуть - к примеру, когда-то встречал задачу про вероятность падения толстой монеты на ребро (которую можно применить тут к половине кубика) или оценить вероятность разрезания кубика на 2 параллелепипеда (или близких к ним 4-угольных призмы, а не на 2 треугольных призмы). Или поправка вследствие учёта этих возможностей будет незначительной?

Значительной.
Над математическим доказательством этого факта пока не думал. Но достаточно несколько раз подбросить спичечный коробок, чтобы понять - вероятность приземления на узкую грань достаточно велика.

[e2e4]

Цитата:

Вот-вот, я так же прикинул.
но можно попробовать теперь глубже копнуть - к примеру, когда-то встречал задачу про вероятность падения толстой монеты на ребро (которую можно применить тут к половине кубика) или оценить вероятность разрезания кубика на 2 параллелепипеда (или близких к ним 4-угольных призмы, а не на 2 треугольных призмы).

Боюсь, что получится как в анекдоте:

Цитата:

Когда математика просят расчитать, скажем устойчивость стола с четырьмя ножками, он довольно быстро приносит результаты, относящиеся к столу с бесконечным количеством ножек, и к столу с одной ножкой. Остальную часть своей жизни он безуспешно решает общую задачу о столе с произвольным числом ножек.

[hurtsy]

General в сообщении #212827 писал(а):

Давайте обсудим, какова вероятность выбросить больше 6-ти очков, перерубив кубик на 2 половинки в полёте (вероятность того, что опытный воин может перерубить в воздухе игральный кубик примем за 1)

Учитывая симметрию при разрезании, получим:1) если на одной половинке выпадет число от 1 до 6, то на второй пусто; 2)при падении на половинную грань - результат пустой. Итого - вероятность получить больше 6 равна нулю.

С уважением,

[Лиля]

в зависимоти от кубика может быть и 100% если на противоположных сторонах будут например такие числа 1-6; 2-5; 3-4 -как не дели все равно сумма равна 7

[Xaositect]

Лиля в сообщении #213973 писал(а):

в зависимоти от кубика может быть и 100% если на противоположных сторонах будут например такие числа 1-6; 2-5; 3-4 -как не дели все равно сумма равна 7

У игральной кости так и должно быть.

[Утундрий]

Тогда получается 25%, ведь для выигрыша обе половинки должны упасть метками вверх.

[Dan B-Yallay]

Наверху VAL уже отметил, что вероятность падения половинки кубика на "ребро" довольно-таки ненулевая.

[bozhok]

Возможно грубо, но если вписать половинку кубика в сферу, то соответствующая падению на ребро геометрическая вероятность, если нигде не ошибся, равна $\frac1\sqrt{5}$.

[VAL]

bozhok в сообщении #214454 писал(а):

Возможно грубо, но если вписать половинку кубика в сферу, то соответствующая падению на ребро геометрическая вероятность, если нигде не ошибся, равна $\frac1\sqrt{5}$.

Такая модель не учитывает, что при перекатывании на узкую параллелепипеда (в отличии от сферы) грань центр тяжести поднимается.

[bozhok]

Это как раз вроде бы учитывается, шириной сферического пояса, соответствующего ребру. Есть подобная классическая задачка про монетку. Но тут дела обстоят хуже, т.к. касание со сферой происходит не ребрами, а углами.

[VAL]

bozhok в сообщении #214461 писал(а):

Это как раз вроде бы учитывается, шириной сферического пояса, соответствующего ребру. Есть подобная классическая задачка про монетку. Но тут дела обстоят хуже, т.к. касание со сферой происходит не ребрами, а углами.

Т.е. считаем монетку низким цилиндром, описиваем сферу и ищем отношения соответствющих площадей к площади сферы?
Полагаю, что и для монетки такой способ даст завышенную вероятность приземления на ребро.
Касание описанной сферой полоскости в точке, принадлежащей поверхности шарового пояса, соответствующего ребру монетки, не гарантирует приземления на ребро. Ведь при реальном броске монетка (кубик) обычно вращаются. Для сферы, все точки которой одинаво удалены от центра тяжести, учет такого вращения не меняет первоначальной оценки вероятности. А вот для монетки (кубика, половинки кубика) вероятность, посчитанная без учета вращения, будет выше реальной. Именно за счет того, что при вставании на ребро (узкую грань) центр тяжести будет (с большой неохотой ) подниматься.

[bozhok]

VAL в сообщении #214470 писал(а):

Полагаю, что и для монетки такой способ даст завышенную вероятность приземления на ребро.

Согласен. А для половинки кости все еще хуже. Просто это первое напрашивающееся приближение, легко считаемое.