Возведения комплексного числа в степень (тоже комплексную)

[вздымщик Цыпа]

Отстаньте ужо от ентой экспоненты. Все ветви отличаются константным множителем. Никто не виноват, что если основание $e$, то множитель равен $1$. Хоть обумножаейтесь на $1$, ничего нового не получится. Потому и склеилось все, как и после неумеренных сладостей.

[terminator-II]

$e^i=e^{iLn\,e}=e^{i-2\pi n},\quad n\in \mathbb{Z}$

[вздымщик Цыпа]

А вот и несмешно.

$e^{-2\pi} = (e^{2\pi i})^i = 1^i = 1$

На самом деле «$e$ в степени $z$» и «$e$ в Степени $z$» — это разные вещи.
Первое строится как аналитическое продолжение вещесвенноаргументной экспоненты и являет собой главную ветвь второго.

Скакать с одной ветви на другую чревато.

[Алексей К.]

terminator-II" в сообщении #213437 писал(а):

$e^i=e^{iLn\,e}=e^{i-2\pi n},\quad n\in \mathbb{Z}$

Разве это "несмешно"? По-моему, это "неверно", а не "несмешно".

[Pi]

Утундрий в сообщении #213373 писал(а):

но отчего это экспонента многозначной стала?

А кто вообще сказал что любая показательная функция однозначна?
А вот и нет. Пример.
0^{x-y}\neq0^x0^{-y} при положительных x>=y.
Но экспонента однозначная функция в комплексной области.

[terminator-II]

Алексей К. в сообщении #213505 писал(а):

Разве это "несмешно"? По-моему, это "неверно", а не "несмешно".

это неверно, смешно вот это:

вздымщик Цыпа в сообщении #213501 писал(а):

На самом деле «$e$ в степени $z$» и «$e$ в Степени $z$» — это разные вещи.
Первое строится как аналитическое продолжение вещесвенноаргументной экспоненты и являет собой главную ветвь второго.

о ,оказывается у $e^z$ несколько ветвей

что касается "примера" ewert'a и моего:
двоешеикам учить наизусть: $\mathrm{Ln}\,e^z=\{z+ 2i\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\}$,
штоп совсем было понятно: $\mathrm{Ln}\,e= \{1+2i\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\}$ и в частности $e^z\ne e^{z\mathrm{Ln}\,e}$

[ewert]

вздымщик Цыпа в сообщении #213501 писал(а):

Первое строится как аналитическое продолжение вещесвенноаргументной экспоненты и являет собой главную ветвь второго.

Ну, в этом уже есть наконец нечто разумное.

[Brukvalub]

Кстати, сейчас рыскал в своей библиотеке, случайно наткнулся на 1-й том Шабата, открыл его на тр. 183 (глава 3, параграф 9, п.30) и с удивлением прочел там:

\[i^i = e^{iLni} = e^{i(i\frac{\pi }{2} + 2k\pi i)} = e^{ - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )} \;;k \in Z \]

Вот и верь после этого людям, заявляющим, что Шабат в своей ниге запрщал возводить комплексно число в комплексную степень....

[ewert]

Brukvalub в сообщении #213560 писал(а):

что Шабат в своей ниге запрщал возводить комплексно число в комплексную степень

А кто заявлял, будто бы Шабат чего-то там запрещал?... да и ещё по такому тривиальному поводу?...

Просто для $i^i$ невозможно выделить естественной главной ветви.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #213569 писал(а):

А кто заявлял, будто бы Шабат чего-то там запрещал?

Это заявлял terminator-II

[ewert]

Brukvalub в сообщении #213572 писал(а):

Это заявлял terminator-II

Не заметил, где он это заявлял. Сам Шабат, ессно, такого запретить не мог. (в буквальном понимании)

[Brukvalub]

ewert в сообщении #213577 писал(а):

Не заметил, где он это заявлял.

Вот здесь:

terminator-II в сообщении #213231 писал(а):

ну что тут обдумывать, возведение комплексного числа в комплексную степень некорректно. На этот стандартный факт специально обращается внимание в учебнике Шабата Введение в комплан том 1. Странно, что Вы не заметили.

[ewert]

Да, это я видел. Но ведь и смысл термина "некорректно" -- вполне двусмысленен. Под этим вполне может пониматься попросту "неоднозначность". Что предыдущий оратор, безусловно, в виду и имел.

[terminator-II]

Я посмотрел Шабата. Да мне, очевидно, следует извиниться перед Brukvalub и перед вздымщик Цыпа. Многозначность, которую мы обмуждаем у меня отложилась именно как некорректность. Вот даже и несуществующая ссылка приложилась.
В этом свете вопрос, который я задал Брюкволюбу, укже не является провокационным, а ответ на него звучит так: "все ветви".